Posts Tagged ‘Reducción al absurdo’

Aplicaciones del teorema de Taylor

25/01/2010

Después de este periodo de inactividad en el blog se me ha ocurrido publicar una entrada a propósito de un par de aplicaciones del teorema de Taylor.

Supongamos que f es una función para la cual existen f^\prime (x_0), \ldots , f^{(n)}(x_0). El polinomio de Taylor de grado n para f en x_0 viene dado por

\displaystyle{ p_n(x)= \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x-x_0)^n.}

El resto de Taylor de orden n para f en x_0 es la diferencia entre la función y su polinomio de Taylor, es decir, r_n(x)=f(x)-p_n(x). La condición del resto asegura que

\displaystyle{\lim_{x \rightarrow x_0} \frac{r_n(x)}{(x-x_0)^n}=0.}

Suponiendo que existen f^\prime, \ldots, f^{(n+1)} en un intervalo (x_0,x), el teorema de Taylor proporciona las siguientes expresiones para algún t \in (x_0,x)

\displaystyle{r_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^n (x-x_0 )},   (Cauchy),

\displaystyle{r_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(t)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}},    (Lagrange).

1. Cálculo de límites con expresiones indeterminadas

Una bonita aplicación de la condición del resto sucede al calcular el límite de una expresión indeterminada sustituyendo las funciones que aparecen por sus polinomios de Taylor. Supongamos por ejemplo que queremos calcular

\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0} \left (\frac{\sin x}{x} \right )^{1/x^2}.}

Tomando logaritmos y aplicando la regla de L’Hôpital resulta

\displaystyle{\log \lim_{x \rightarrow 0}  \left (\frac{\sin x}{x} \right )^{1/x^2} \hskip-1ex =\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^2} \log \left (\frac{\sin x}{x}\right ) = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{2x^2} \frac{x \cos x - \sin x}{\sin x}.}

Aplicando sucesivas veces la regla de L’Hôpital se obtienen expresiones cada vez más complicadas. Un recurso es considerar polinomios de Taylor, digamos

\displaystyle{\cos x = 1-\frac{x^2}{2!} +r_2(x), \hskip1ex\sin x = x - \frac{x^3}{3!}+s_3(x),}

donde los restos r_2(x), s_3(x) satisfacen las condiciones \lim r_2(x)/x^2= 0, \lim s_3(x)/x^3=0 cuando x \rightarrow 0. Tenemos

\displaystyle{\frac{1}{2x^2} \frac{x \cos x - \sin x}{\sin x}= \frac{1}{2} \frac{x}{\sin x} \left [  -\frac{1}{3} + \frac{r_2(x)}{x^2}+ \frac{s_3(x)}{x^3} \right ],}

y esta expresión tiende hacia -1/6 cuando x \rightarrow 0, de donde se deduce que

\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0} \left (\frac{\sin x}{x} \right )^{1/x^2}=\frac{1}{\sqrt[6]{e}}.}

Se puede comprobar este resultado con Wolfram Alpha. Al teclear el código

lim (sin(x)/x)^(1/x^2) as x goes to 0

se obtiene esta respuesta.

2. La base de los logaritmos naturales es un número irracional

Demostración. Razonamos por reducción al absurdo. Supongamos por un momento que e=m/n donde m,n \in \mathbb{Z} son números enteros con n > 0. Considerando el polinomio de Taylor de grado n para la función exponencial

\displaystyle{e^x=1 + x + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + r_n(x),}

y particularizando esta expresión cuando x=1 se obtiene

\displaystyle{\frac{m}{n}=1+1+\frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{n!}+ r_n(1).}

El resto de Lagrange viene dado por r_n(1)=e^t/(n+1)! para algún t \in (0,1) y por lo tanto 0 < r_n < 3/(n+1)! Multiplicando por n! resulta

\displaystyle{(n-1)!m=n!+n!+\frac{n!}{2!} + \cdots + \frac{n!}{n!}+ n! r_n(1).}

Los términos que aparecen en la expresión anterior son enteros pero 0 < n!r_n(1) <3/(n+1) \leq 1, y esto es una contradicción.

La propiedad arquimediana

20/10/2009

El axioma del supremo asegura que cualquier conjunto de números reales no vacío y acotado superiormente tiene cota superior mínima. La propiedad arquimediana de la suma es una importante consecuencia de este axioma.

Proposición. Si a, b \in \mathbb{R} son números reales con a > 0 entonces existe un número natural n \in \mathbb{N} tal que na > b.

Demostración. Razonamos por reducción al absurdo. Supongamos por un momento que para cualquier número natural n \in \mathbb{N} se tiene la desigualdad na \leq b. Consideremos el conjunto A=\{na : n \in \mathbb{N}\}. Tenemos a \in A, de modo que A \neq \emptyset. Además, A está acotado superiormente porque b es una cota superior de A. Ahora se sigue del axioma del supremo que existe \alpha = \sup A. Observemos que \alpha - a  < b, de manera que \alpha  < (n+1)a. Esto es una contradicción porque así \alpha no es cota superior de A.

Euclides y sus primos

11/10/2009

El teorema fundamental de la aritmética aparece publicado en los Elementos de Euclides, Libro VII, proposiciones 30 y 32. La primera demostración completa y correcta del resultado se debe a Gauss. A continuación presentamos la demostración de Euclides para la existencia.

Teorema Fundamental de la Aritmética. Cualquier número natural mayor que uno se descompone como producto de factores primos. Además, la descomposición es única salvo el orden de los factores.

Demostración. Razonamos por inducción completa. La proposición es trivial cuando n=2 porque se trata de un número primo. Supongamos que cualquier número natural m \in \{2,3, \ldots , n\} se descompone como producto de factores primos y veamos cómo n+1 también admite una factorización de este tipo. Si n+1 es primo entonces la descomposición es trivial, y en caso contrario n+1=r \cdot s donde 2 \leq r, s\leq n. La hipótesis de inducción conduce a factorizaciones r=p_1 \cdots p_j, s=q_1 \cdots q_k, de donde se obtiene la descomposición n+1=p_1 \cdots p_j \cdot q_1 \cdots q_k.

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Existen infinitos números primos. La demostración más antigua que se conoce para este resultado se debe a Euclides y aparece publicada en sus Elementos, Libro IX, Proposición 20.

Teorema de Euclides. Existe una cantidad infinita de números primos.

Demostración. Razonamos por reducción al absurdo. Supongamos que solamente hay una cantidad finita de números primos, digamos p_1, \ldots , p_r. Ahora definimos n= p_1 \cdots p_r+1 y observamos que n no es divisible por ningún p_j cuando 1 \leq j \leq r porque el resto de la división es igual a uno. La contradicción ha llegado porque n+1 bien es primo y hemos comcluido o bien tiene un factor primo p de modo que p \notin \{p_1 \ldots , p_r\} y también hemos concluido.

La raíz cuadrada de dos es un número irracional

08/10/2009

Teorema. La ecuación x^2=2 no tiene ninguna solución racional x \in \mathbb{Q}.

Demostración. Razonamos por reducción al absurdo. Supongamos que existe un número racional x \in \mathbb{Q} tal que x^2=2. Digamos que x=n/m, donde n, m \in \mathbb{Z} no tienen factores comunes. Como n^2/m^2=2, se sigue que n^2=2m^2, de modo que n^2 es par y por lo tanto n también es par. Tenemos n=2r para algún r \in \mathbb{Z} luego n^2=4r^2 y ahora 4r^2=2m^2, de donde m^2 = 2r^2, es decir, m^2 es par y por lo tanto m tambien es par. Hemos llegado a la conclusión de que tanto m como n son pares, y esto contradice la suposición de que m, n no tienen factores comunes.

Reducción al absurdo

07/10/2009

La reducción al absurdo es una forma de demostración que establece la validez de una proposición probando que la premisa de que la proposición sea falsa implica una contradicción.