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Aplicaciones del teorema de Taylor

25/01/2010

Después de este periodo de inactividad en el blog se me ha ocurrido publicar una entrada a propósito de un par de aplicaciones del teorema de Taylor.

Supongamos que f es una función para la cual existen f^\prime (x_0), \ldots , f^{(n)}(x_0). El polinomio de Taylor de grado n para f en x_0 viene dado por

\displaystyle{ p_n(x)= \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x-x_0)^n.}

El resto de Taylor de orden n para f en x_0 es la diferencia entre la función y su polinomio de Taylor, es decir, r_n(x)=f(x)-p_n(x). La condición del resto asegura que

\displaystyle{\lim_{x \rightarrow x_0} \frac{r_n(x)}{(x-x_0)^n}=0.}

Suponiendo que existen f^\prime, \ldots, f^{(n+1)} en un intervalo (x_0,x), el teorema de Taylor proporciona las siguientes expresiones para algún t \in (x_0,x)

\displaystyle{r_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^n (x-x_0 )},   (Cauchy),

\displaystyle{r_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(t)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}},    (Lagrange).

1. Cálculo de límites con expresiones indeterminadas

Una bonita aplicación de la condición del resto sucede al calcular el límite de una expresión indeterminada sustituyendo las funciones que aparecen por sus polinomios de Taylor. Supongamos por ejemplo que queremos calcular

\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0} \left (\frac{\sin x}{x} \right )^{1/x^2}.}

Tomando logaritmos y aplicando la regla de L’Hôpital resulta

\displaystyle{\log \lim_{x \rightarrow 0}  \left (\frac{\sin x}{x} \right )^{1/x^2} \hskip-1ex =\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^2} \log \left (\frac{\sin x}{x}\right ) = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{2x^2} \frac{x \cos x - \sin x}{\sin x}.}

Aplicando sucesivas veces la regla de L’Hôpital se obtienen expresiones cada vez más complicadas. Un recurso es considerar polinomios de Taylor, digamos

\displaystyle{\cos x = 1-\frac{x^2}{2!} +r_2(x), \hskip1ex\sin x = x - \frac{x^3}{3!}+s_3(x),}

donde los restos r_2(x), s_3(x) satisfacen las condiciones \lim r_2(x)/x^2= 0, \lim s_3(x)/x^3=0 cuando x \rightarrow 0. Tenemos

\displaystyle{\frac{1}{2x^2} \frac{x \cos x - \sin x}{\sin x}= \frac{1}{2} \frac{x}{\sin x} \left [  -\frac{1}{3} + \frac{r_2(x)}{x^2}+ \frac{s_3(x)}{x^3} \right ],}

y esta expresión tiende hacia -1/6 cuando x \rightarrow 0, de donde se deduce que

\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0} \left (\frac{\sin x}{x} \right )^{1/x^2}=\frac{1}{\sqrt[6]{e}}.}

Se puede comprobar este resultado con Wolfram Alpha. Al teclear el código

lim (sin(x)/x)^(1/x^2) as x goes to 0

se obtiene esta respuesta.

2. La base de los logaritmos naturales es un número irracional

Demostración. Razonamos por reducción al absurdo. Supongamos por un momento que e=m/n donde m,n \in \mathbb{Z} son números enteros con n > 0. Considerando el polinomio de Taylor de grado n para la función exponencial

\displaystyle{e^x=1 + x + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + r_n(x),}

y particularizando esta expresión cuando x=1 se obtiene

\displaystyle{\frac{m}{n}=1+1+\frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{n!}+ r_n(1).}

El resto de Lagrange viene dado por r_n(1)=e^t/(n+1)! para algún t \in (0,1) y por lo tanto 0 < r_n < 3/(n+1)! Multiplicando por n! resulta

\displaystyle{(n-1)!m=n!+n!+\frac{n!}{2!} + \cdots + \frac{n!}{n!}+ n! r_n(1).}

Los términos que aparecen en la expresión anterior son enteros pero 0 < n!r_n(1) <3/(n+1) \leq 1, y esto es una contradicción.

Números algebraicos y números transcendentes

27/10/2009

Definición. Un número algebraico es cualquier raíz real de un polinomio

p(x)=a_nx^n + \cdots +a_1x+a_0

con coeficientes enteros a_0,a_1, \ldots,a_n \in \mathbb{Z}. Un número real que no sea algebraico se llama transcendente.

Cualquier número racional es algebraico. Un ejemplo de número algebraico irracional es x= \sqrt{2} por ser raíz del polinomio p(x)=x^2-2. Razonando con un argumento de cardinalidad se puede probar que existen muchos números transcendentes. Demostrar que un número real es transcendente puede ser extremadamente complicado. Ejemplos de números transcendentes son e, \pi, 2^{\sqrt{2}}. El siguiente resultado proporciona muchos otros ejemplos de números transcendentes.

Teorema de Gelfond-Schneider. Si \alpha, \beta son números algebraicos con \alpha \notin \{ 0,1\} y \beta \notin \mathbb{Q} entonces cualquier valor de \alpha^\beta es transcendente.

Una fuente de números algebraicos irracionales viene dada por el siguiente resultado, que figura como ejercicio 19 en la relación de problemas 1.1.

Proposición. Si un número real x \in \mathbb{R} es solución de una ecuación algebraica x^n + a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x+a_0=0 con coeficientes enteros a_0,a_1, \ldots,a_{n-1} \in \mathbb{Z} entonces x es irracional si no es entero.

Demostración. Supongamos que x=p/q es una solución racional de la ecuación con p,q \in \mathbb{Z} coprimos, de modo que

p^n + a_{n-1}p^{n-1}q + \cdots +a_1pq^{n-1}+a_0q^n=0.

Ahora se sigue que q es un divisor de p^n. Como p,q no tienen factores comunes resulta que q=1, es decir, x \in \mathbb{Z}.

Observación. El razonamiento de la demostración indica que las soluciones enteras de la ecuación son divisores de a_0.

Ejemplo. Consideremos el número real x=\sqrt[3]{\sqrt{2}+1} y observemos que (x^3-1)^2=2, luego x^6-2x^3-1=0, pero esta ecuación no tiene soluciones enteras, luego x debe ser irracional.

La raíz cuadrada de dos es un número irracional

08/10/2009

Teorema. La ecuación x^2=2 no tiene ninguna solución racional x \in \mathbb{Q}.

Demostración. Razonamos por reducción al absurdo. Supongamos que existe un número racional x \in \mathbb{Q} tal que x^2=2. Digamos que x=n/m, donde n, m \in \mathbb{Z} no tienen factores comunes. Como n^2/m^2=2, se sigue que n^2=2m^2, de modo que n^2 es par y por lo tanto n también es par. Tenemos n=2r para algún r \in \mathbb{Z} luego n^2=4r^2 y ahora 4r^2=2m^2, de donde m^2 = 2r^2, es decir, m^2 es par y por lo tanto m tambien es par. Hemos llegado a la conclusión de que tanto m como n son pares, y esto contradice la suposición de que m, n no tienen factores comunes.