La fórmula del binomio

09/10/2009

Teorema. Si a,b \in \mathbb{R} son números reales y n \in \mathbb{N} es un número natural entonces se tiene la identidad

\displaystyle{(a+b)^n = \sum_{k=0}^n \left ( \hskip -1ex\begin{array}{c} n \\ k \end{array}\hskip -1ex \right ) a^{n-k}\,b^k.}

Demostración. Razonamos por inducción matemática. La identidad es trivial cuando n=1 puesto que

\displaystyle{(a+b)^1 = \left ( \hskip -1ex\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}\hskip -1ex \right ) a + \left ( \hskip -1ex\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}\hskip -1ex \right ) b.}

Supongamos que el resultado es cierto para un número natural n \in \mathbb{N}. Observemos que (a+b)^{n+1} = a(a+b)^n + b(a+b)^n. Aplicando ahora la hipótesis de inducción resulta

\displaystyle{(a+b)^{n+1} = \sum_{k=0}^n \left ( \hskip -1ex\begin{array}{c} n \\ k \end{array}\hskip -1ex \right ) a^{n+1-k}\,b^k + \sum_{k=0}^n \left ( \hskip -1ex\begin{array}{c} n \\ k \end{array}\hskip -1ex \right ) a^{n-k}\,b^{k+1}.}

El segundo término de la derecha se puede expresar como

\displaystyle{\sum_{k=1}^{n+1} \left ( \hskip -1ex\begin{array}{c} n \\ k-1 \end{array}\hskip -1ex \right ) a^{n+1-k}\,b^k,}

de donde se sigue que

\displaystyle{(a+b)^{n+1} = a^{n+1}+b^{n+1} + \sum_{k=1}^n \left [ \left ( \hskip -1ex\begin{array}{c} n \\ k \end{array}\hskip -1ex \right )  +  \left ( \hskip -1ex\begin{array}{c} n \\ k-1 \end{array}\hskip -1ex \right ) \right ] a^{n+1-k}\,b^k.}

Teniendo en cuenta la identidad de Pascal

\displaystyle{\left ( \hskip -1ex\begin{array}{c} n \\ k \end{array}\hskip -1ex \right )  +  \left ( \hskip -1ex\begin{array}{c} n \\ k-1 \end{array}\hskip -1ex \right )=\left ( \hskip -1ex\begin{array}{c} n+1 \\ k \end{array}\hskip -1ex \right ) }

se deduce que

\displaystyle{(a+b)^{n+1} = \sum_{k=0}^{n+1} \left ( \hskip -1ex\begin{array}{c} n+1 \\ k \end{array}\hskip -1ex \right ) a^{n+1-k}\,b^k,}

y esto completa el paso inductivo.

Inducción matemática

08/10/2009

La inducción matemática es una forma de demostración que se usa para establecer la validez de una proposición acerca de los números naturales. Se procede probando que la proposición es cierta para el primer número natural y después probando que si la proposición es cierta para un número natural entonces también es cierta para el siguiente. Este método se puede enunciar formalmente del siguiente modo.


Principio de inducción matemática.
Sea P \subseteq \mathbb{N} y supongamos que

  • 1 \in P,
  • n \in P \Longrightarrow n+1 \in P.

Entonces P=\mathbb{N}.

El conjunto P representa a aquellos números naturales que satisfacen la proposición que se quiere demostrar. La condición n \in P se llama hipótesis de inducción y la implicación n \in P \Longrightarrow n+1 \in P se llama paso inductivo. La siguiente forma equivalente del principio de inducción matemática consiste en realizar la hipótesis de inducción sobre un número natural y todos los anteriores a él.


Principio de inducción completa.
Sea P \subseteq \mathbb{N} y supongamos que

  • 1 \in P,
  • \{1, \ldots ,  n\} \subseteq P \Longrightarrow n+1 \in P.

Entonces P=\mathbb{N}.

La raíz cuadrada de dos es un número irracional

08/10/2009

Teorema. La ecuación x^2=2 no tiene ninguna solución racional x \in \mathbb{Q}.

Demostración. Razonamos por reducción al absurdo. Supongamos que existe un número racional x \in \mathbb{Q} tal que x^2=2. Digamos que x=n/m, donde n, m \in \mathbb{Z} no tienen factores comunes. Como n^2/m^2=2, se sigue que n^2=2m^2, de modo que n^2 es par y por lo tanto n también es par. Tenemos n=2r para algún r \in \mathbb{Z} luego n^2=4r^2 y ahora 4r^2=2m^2, de donde m^2 = 2r^2, es decir, m^2 es par y por lo tanto m tambien es par. Hemos llegado a la conclusión de que tanto m como n son pares, y esto contradice la suposición de que m, n no tienen factores comunes.

Reducción al absurdo

07/10/2009

La reducción al absurdo es una forma de demostración que establece la validez de una proposición probando que la premisa de que la proposición sea falsa implica una contradicción.

Calendario Escolar

27/09/2009

Las clases empiezan el lunes día 5 de octubre. Se pueden consultar horarios y calendarios en la página web de la Facultad de Matemáticas.

Comenzando …

01/08/2009

Este blog es una iniciativa de Miguel Lacruz para publicar opiniones, enlaces y comentarios relacionados con la materia de Cálculo Infinitesimal que se imparte en la Facultad de Matemáticas de la Universidad de Sevilla.

El formato blog ha sido elegido por la flexibilidad que ofrece para la comunicación, permitiendo la participación de los estudiantes en el desarrollo de contenidos.