Archive for the ‘Números reales’ Category

Aplicaciones del teorema de Taylor

25/01/2010

Después de este periodo de inactividad en el blog se me ha ocurrido publicar una entrada a propósito de un par de aplicaciones del teorema de Taylor.

Supongamos que f es una función para la cual existen f^\prime (x_0), \ldots , f^{(n)}(x_0). El polinomio de Taylor de grado n para f en x_0 viene dado por

\displaystyle{ p_n(x)= \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x-x_0)^n.}

El resto de Taylor de orden n para f en x_0 es la diferencia entre la función y su polinomio de Taylor, es decir, r_n(x)=f(x)-p_n(x). La condición del resto asegura que

\displaystyle{\lim_{x \rightarrow x_0} \frac{r_n(x)}{(x-x_0)^n}=0.}

Suponiendo que existen f^\prime, \ldots, f^{(n+1)} en un intervalo (x_0,x), el teorema de Taylor proporciona las siguientes expresiones para algún t \in (x_0,x)

\displaystyle{r_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^n (x-x_0 )},   (Cauchy),

\displaystyle{r_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(t)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}},    (Lagrange).

1. Cálculo de límites con expresiones indeterminadas

Una bonita aplicación de la condición del resto sucede al calcular el límite de una expresión indeterminada sustituyendo las funciones que aparecen por sus polinomios de Taylor. Supongamos por ejemplo que queremos calcular

\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0} \left (\frac{\sin x}{x} \right )^{1/x^2}.}

Tomando logaritmos y aplicando la regla de L’Hôpital resulta

\displaystyle{\log \lim_{x \rightarrow 0}  \left (\frac{\sin x}{x} \right )^{1/x^2} \hskip-1ex =\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^2} \log \left (\frac{\sin x}{x}\right ) = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{2x^2} \frac{x \cos x - \sin x}{\sin x}.}

Aplicando sucesivas veces la regla de L’Hôpital se obtienen expresiones cada vez más complicadas. Un recurso es considerar polinomios de Taylor, digamos

\displaystyle{\cos x = 1-\frac{x^2}{2!} +r_2(x), \hskip1ex\sin x = x - \frac{x^3}{3!}+s_3(x),}

donde los restos r_2(x), s_3(x) satisfacen las condiciones \lim r_2(x)/x^2= 0, \lim s_3(x)/x^3=0 cuando x \rightarrow 0. Tenemos

\displaystyle{\frac{1}{2x^2} \frac{x \cos x - \sin x}{\sin x}= \frac{1}{2} \frac{x}{\sin x} \left [  -\frac{1}{3} + \frac{r_2(x)}{x^2}+ \frac{s_3(x)}{x^3} \right ],}

y esta expresión tiende hacia -1/6 cuando x \rightarrow 0, de donde se deduce que

\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0} \left (\frac{\sin x}{x} \right )^{1/x^2}=\frac{1}{\sqrt[6]{e}}.}

Se puede comprobar este resultado con Wolfram Alpha. Al teclear el código

lim (sin(x)/x)^(1/x^2) as x goes to 0

se obtiene esta respuesta.

2. La base de los logaritmos naturales es un número irracional

Demostración. Razonamos por reducción al absurdo. Supongamos por un momento que e=m/n donde m,n \in \mathbb{Z} son números enteros con n > 0. Considerando el polinomio de Taylor de grado n para la función exponencial

\displaystyle{e^x=1 + x + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + r_n(x),}

y particularizando esta expresión cuando x=1 se obtiene

\displaystyle{\frac{m}{n}=1+1+\frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{n!}+ r_n(1).}

El resto de Lagrange viene dado por r_n(1)=e^t/(n+1)! para algún t \in (0,1) y por lo tanto 0 < r_n < 3/(n+1)! Multiplicando por n! resulta

\displaystyle{(n-1)!m=n!+n!+\frac{n!}{2!} + \cdots + \frac{n!}{n!}+ n! r_n(1).}

Los términos que aparecen en la expresión anterior son enteros pero 0 < n!r_n(1) <3/(n+1) \leq 1, y esto es una contradicción.

El principio de intervalos encajados

21/12/2009

El principio de intervalos cerrados encajados de Cantor es otra expresión de la completitud del cuerpo de los números reales. Un sistema de intervalos encajados es cualquier familia de intervalos \{I_\alpha\}_{\alpha \in \Lambda} con la propiedad de que para cada \alpha, \beta \in \Lambda se tiene I_\alpha \subseteq I_\beta o bien I_\beta \subseteq I_\alpha.

Teorema (Principio de intervalos encajados)
Si \{I_n\}_{n \in \mathbb{N}} es un sistema de intervalos cerrados encajados entonces

\displaystyle{\bigcap_{n \in \mathbb{N}} I_n \neq \emptyset.}

Si además se cumple que para cada \varepsilon >0 existe n \in \mathbb{N} tal que \text{diam}(I_n)<\varepsilon entonces la intersección se reduce a un único punto.

Demostración. Sea I_n = [a_n,b_n], donde a_n \leq b_n para cada n \in \mathbb{N}, y sean A=\{a_n:n \in \mathbb{N}\}, B=\{b_n:n \in \mathbb{N}\}. Está claro que A \neq \emptyset \neq B. Como los intervalos están encajados, se tiene la desigualdad a_n \leq b_m para cada n, m \in \mathbb{N}, y de aquí se deduce que A está acotado superiormente y B está acotado inferiormente. Ahora se sigue del axioma del supremo que existen \alpha=\sup A, \beta = \inf B. Es fácil comprobar que entonces

\displaystyle{\bigcap_{n \in \mathbb{N}} I_n =[\alpha,\beta],}

y que bajo la hipótesis adicional se tiene \alpha=\beta.

Como ilustración del principio de intervalos encajados en acción tenemos una demostración alternativa del teorema de Bolzano acerca de la existencia de ceros para una función continua en un intervalo.

Teorema de Bolzano
Si f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R} es una función continua tal que f(a)<0<f(b) entonces existe x_0 \in (a,b) tal que f(x_0)=0.

Demostración. Tomamos el punto medio c=(a+b)/2 del intervalo [a,b]. Si f(c)=0 entonces hemos concluido. Si f(c)>0 entonces elegimos a_1=a, b_1=c, y si f(c)<0 entonces elegimos a_1=c, b_1=b, de modo que f(a_1)<0<f(b_1) y b_1-a_1=(b-a)/2. Ahora tomamos el punto medio c_1=(a_1+b_1)/2 del intervalo [a_1,b_1]. Si f(c_1)=0 entonces hemos concluido. Si f(c_1)>0 entonces elegimos a_2=a_1, b_2=c_1, y si f(c_1)<0 entonces elegimos a_2=c_1, b_2=b_1, de modo que f(a_2)<0<f(b_2) y b_2-a_2=(b-a)/2^2. Continuando este proceso se obtiene una familia \{I_n\}_{n \in \mathbb{N}} de intervalos cerrados encajados I_n=[a_n,b_n] tales que f(a_n)<0<f(b_n) y \text{diam}(I_n)=(b-a)/2^n. Según el principio de intervalos encajados, existe algún número real

\displaystyle{x_0 \in \bigcap_{n \in \mathbb{N}} I_n.}

Afirmamos que f(x_0)=0. Supongamos lo contrario, digamos f(x_0)>0. Como f es continua en x_0, existe \varepsilon >0 tal que f(x)>0 para cada x \in  (x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon). Sea n \in \mathbb{N} tal que \text{diam}(I_n)<\varepsilon. Tenemos x_0 \in I_n \subseteq  (x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon), luego f(a_n)>0, lo cual es absurdo. Cuando f(x_0)<0 se razona de forma análoga.

Números algebraicos y números transcendentes

27/10/2009

Definición. Un número algebraico es cualquier raíz real de un polinomio

p(x)=a_nx^n + \cdots +a_1x+a_0

con coeficientes enteros a_0,a_1, \ldots,a_n \in \mathbb{Z}. Un número real que no sea algebraico se llama transcendente.

Cualquier número racional es algebraico. Un ejemplo de número algebraico irracional es x= \sqrt{2} por ser raíz del polinomio p(x)=x^2-2. Razonando con un argumento de cardinalidad se puede probar que existen muchos números transcendentes. Demostrar que un número real es transcendente puede ser extremadamente complicado. Ejemplos de números transcendentes son e, \pi, 2^{\sqrt{2}}. El siguiente resultado proporciona muchos otros ejemplos de números transcendentes.

Teorema de Gelfond-Schneider. Si \alpha, \beta son números algebraicos con \alpha \notin \{ 0,1\} y \beta \notin \mathbb{Q} entonces cualquier valor de \alpha^\beta es transcendente.

Una fuente de números algebraicos irracionales viene dada por el siguiente resultado, que figura como ejercicio 19 en la relación de problemas 1.1.

Proposición. Si un número real x \in \mathbb{R} es solución de una ecuación algebraica x^n + a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x+a_0=0 con coeficientes enteros a_0,a_1, \ldots,a_{n-1} \in \mathbb{Z} entonces x es irracional si no es entero.

Demostración. Supongamos que x=p/q es una solución racional de la ecuación con p,q \in \mathbb{Z} coprimos, de modo que

p^n + a_{n-1}p^{n-1}q + \cdots +a_1pq^{n-1}+a_0q^n=0.

Ahora se sigue que q es un divisor de p^n. Como p,q no tienen factores comunes resulta que q=1, es decir, x \in \mathbb{Z}.

Observación. El razonamiento de la demostración indica que las soluciones enteras de la ecuación son divisores de a_0.

Ejemplo. Consideremos el número real x=\sqrt[3]{\sqrt{2}+1} y observemos que (x^3-1)^2=2, luego x^6-2x^3-1=0, pero esta ecuación no tiene soluciones enteras, luego x debe ser irracional.

La propiedad arquimediana

20/10/2009

El axioma del supremo asegura que cualquier conjunto de números reales no vacío y acotado superiormente tiene cota superior mínima. La propiedad arquimediana de la suma es una importante consecuencia de este axioma.

Proposición. Si a, b \in \mathbb{R} son números reales con a > 0 entonces existe un número natural n \in \mathbb{N} tal que na > b.

Demostración. Razonamos por reducción al absurdo. Supongamos por un momento que para cualquier número natural n \in \mathbb{N} se tiene la desigualdad na \leq b. Consideremos el conjunto A=\{na : n \in \mathbb{N}\}. Tenemos a \in A, de modo que A \neq \emptyset. Además, A está acotado superiormente porque b es una cota superior de A. Ahora se sigue del axioma del supremo que existe \alpha = \sup A. Observemos que \alpha - a  < b, de manera que \alpha  < (n+1)a. Esto es una contradicción porque así \alpha no es cota superior de A.

Euclides y sus primos

11/10/2009

El teorema fundamental de la aritmética aparece publicado en los Elementos de Euclides, Libro VII, proposiciones 30 y 32. La primera demostración completa y correcta del resultado se debe a Gauss. A continuación presentamos la demostración de Euclides para la existencia.

Teorema Fundamental de la Aritmética. Cualquier número natural mayor que uno se descompone como producto de factores primos. Además, la descomposición es única salvo el orden de los factores.

Demostración. Razonamos por inducción completa. La proposición es trivial cuando n=2 porque se trata de un número primo. Supongamos que cualquier número natural m \in \{2,3, \ldots , n\} se descompone como producto de factores primos y veamos cómo n+1 también admite una factorización de este tipo. Si n+1 es primo entonces la descomposición es trivial, y en caso contrario n+1=r \cdot s donde 2 \leq r, s\leq n. La hipótesis de inducción conduce a factorizaciones r=p_1 \cdots p_j, s=q_1 \cdots q_k, de donde se obtiene la descomposición n+1=p_1 \cdots p_j \cdot q_1 \cdots q_k.

*   *   *   *   *

Existen infinitos números primos. La demostración más antigua que se conoce para este resultado se debe a Euclides y aparece publicada en sus Elementos, Libro IX, Proposición 20.

Teorema de Euclides. Existe una cantidad infinita de números primos.

Demostración. Razonamos por reducción al absurdo. Supongamos que solamente hay una cantidad finita de números primos, digamos p_1, \ldots , p_r. Ahora definimos n= p_1 \cdots p_r+1 y observamos que n no es divisible por ningún p_j cuando 1 \leq j \leq r porque el resto de la división es igual a uno. La contradicción ha llegado porque n+1 bien es primo y hemos comcluido o bien tiene un factor primo p de modo que p \notin \{p_1 \ldots , p_r\} y también hemos concluido.

La fórmula del binomio

09/10/2009

Teorema. Si a,b \in \mathbb{R} son números reales y n \in \mathbb{N} es un número natural entonces se tiene la identidad

\displaystyle{(a+b)^n = \sum_{k=0}^n \left ( \hskip -1ex\begin{array}{c} n \\ k \end{array}\hskip -1ex \right ) a^{n-k}\,b^k.}

Demostración. Razonamos por inducción matemática. La identidad es trivial cuando n=1 puesto que

\displaystyle{(a+b)^1 = \left ( \hskip -1ex\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}\hskip -1ex \right ) a + \left ( \hskip -1ex\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}\hskip -1ex \right ) b.}

Supongamos que el resultado es cierto para un número natural n \in \mathbb{N}. Observemos que (a+b)^{n+1} = a(a+b)^n + b(a+b)^n. Aplicando ahora la hipótesis de inducción resulta

\displaystyle{(a+b)^{n+1} = \sum_{k=0}^n \left ( \hskip -1ex\begin{array}{c} n \\ k \end{array}\hskip -1ex \right ) a^{n+1-k}\,b^k + \sum_{k=0}^n \left ( \hskip -1ex\begin{array}{c} n \\ k \end{array}\hskip -1ex \right ) a^{n-k}\,b^{k+1}.}

El segundo término de la derecha se puede expresar como

\displaystyle{\sum_{k=1}^{n+1} \left ( \hskip -1ex\begin{array}{c} n \\ k-1 \end{array}\hskip -1ex \right ) a^{n+1-k}\,b^k,}

de donde se sigue que

\displaystyle{(a+b)^{n+1} = a^{n+1}+b^{n+1} + \sum_{k=1}^n \left [ \left ( \hskip -1ex\begin{array}{c} n \\ k \end{array}\hskip -1ex \right )  +  \left ( \hskip -1ex\begin{array}{c} n \\ k-1 \end{array}\hskip -1ex \right ) \right ] a^{n+1-k}\,b^k.}

Teniendo en cuenta la identidad de Pascal

\displaystyle{\left ( \hskip -1ex\begin{array}{c} n \\ k \end{array}\hskip -1ex \right )  +  \left ( \hskip -1ex\begin{array}{c} n \\ k-1 \end{array}\hskip -1ex \right )=\left ( \hskip -1ex\begin{array}{c} n+1 \\ k \end{array}\hskip -1ex \right ) }

se deduce que

\displaystyle{(a+b)^{n+1} = \sum_{k=0}^{n+1} \left ( \hskip -1ex\begin{array}{c} n+1 \\ k \end{array}\hskip -1ex \right ) a^{n+1-k}\,b^k,}

y esto completa el paso inductivo.

La raíz cuadrada de dos es un número irracional

08/10/2009

Teorema. La ecuación x^2=2 no tiene ninguna solución racional x \in \mathbb{Q}.

Demostración. Razonamos por reducción al absurdo. Supongamos que existe un número racional x \in \mathbb{Q} tal que x^2=2. Digamos que x=n/m, donde n, m \in \mathbb{Z} no tienen factores comunes. Como n^2/m^2=2, se sigue que n^2=2m^2, de modo que n^2 es par y por lo tanto n también es par. Tenemos n=2r para algún r \in \mathbb{Z} luego n^2=4r^2 y ahora 4r^2=2m^2, de donde m^2 = 2r^2, es decir, m^2 es par y por lo tanto m tambien es par. Hemos llegado a la conclusión de que tanto m como n son pares, y esto contradice la suposición de que m, n no tienen factores comunes.