Archive for the ‘Heurística’ Category

El poder del razonamiento heurístico

12/12/2009

Según el diccionario de la lengua española, la heurística es la técnica de la indagación y del descubrimiento. Desde la antigüedad, la heurística es una rama de la lógica, la filosofía y la psicología que tiene por objetivo estudiar los métodos y las reglas del descubrimiento y la invención. El concepto se hace popular en el siglo XX gracias al matemático húngaro George Pólya con la publicación de su libro How to solve it.

Un razonamiento heurístico es un razonamiento que no se considera definitivo y estricto, sino solamente provisional y plausible, cuyo propósito es descubrir la solución de un problema. Se necesita el razonamiento heurístico cuando se elabora una demostración rigurosa del mismo modo que se necesita el andamio cuando se construye un edificio.

Un buen ejemplo del poder del razonamiento heurístico es la demostración de la regla de la cadena para la derivada de una función compuesta.

Teorema (Regla de la cadena)
Si f es derivable en x_0 y g es derivable en f(x_0) entonces g \circ f es derivable en x_0 y además se tiene (g \circ f)^\prime(x_0)=g^\prime(f(x_0)) \cdot f^\prime(x_0).

La idea principal de la demostración se basa en la siguiente identidad, que es una sencilla consecuencia del viejo truco algebraico de multiplicar y dividir una expresión por la misma cantidad sin que se produzca alteración.

\displaystyle{\frac{g(f(x))-g(f(x_0))}{x-x_0}=\frac{g(f(x))-g(f(x_0))}{f(x)-f(x_0)} \cdot\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}.

Tomando límites cuando x \rightarrow x_0 resulta que el primer factor tiende hacia g^\prime(f(x_0)) mientras que el segundo factor tiende hacia f^\prime(x_0). El problema que presenta este razonamiento es que el denominador f(x)-f(x_0) del primer factor se puede anular. Este razonamiento heurístico se convierte en una demostración rigurosa mediante la introducción de una función auxiliar que soluciona el problema técnico.

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Contraejemplos en matemáticas

09/11/2009

Un contraejemplo es un ejemplo que prueba la falsedad de un enunciado.

La suma de dos números compuestos siempre es un número compuesto. Este enunciado es falso, como contraejemplo, 4 + 9 =13.

La validez de un enunciado se establece con una demostración. La falsedad de un enunciado se establece con un contraejemplo. Esta idea queda ilustrada en el ejercicio 12 de la relación de problemas 1.2.

Inducción matemática

08/10/2009

La inducción matemática es una forma de demostración que se usa para establecer la validez de una proposición acerca de los números naturales. Se procede probando que la proposición es cierta para el primer número natural y después probando que si la proposición es cierta para un número natural entonces también es cierta para el siguiente. Este método se puede enunciar formalmente del siguiente modo.


Principio de inducción matemática.
Sea P \subseteq \mathbb{N} y supongamos que

  • 1 \in P,
  • n \in P \Longrightarrow n+1 \in P.

Entonces P=\mathbb{N}.

El conjunto P representa a aquellos números naturales que satisfacen la proposición que se quiere demostrar. La condición n \in P se llama hipótesis de inducción y la implicación n \in P \Longrightarrow n+1 \in P se llama paso inductivo. La siguiente forma equivalente del principio de inducción matemática consiste en realizar la hipótesis de inducción sobre un número natural y todos los anteriores a él.


Principio de inducción completa.
Sea P \subseteq \mathbb{N} y supongamos que

  • 1 \in P,
  • \{1, \ldots ,  n\} \subseteq P \Longrightarrow n+1 \in P.

Entonces P=\mathbb{N}.

Reducción al absurdo

07/10/2009

La reducción al absurdo es una forma de demostración que establece la validez de una proposición probando que la premisa de que la proposición sea falsa implica una contradicción.