Archive for the ‘Funciones derivables’ Category

Aplicaciones del teorema de Taylor

25/01/2010

Después de este periodo de inactividad en el blog se me ha ocurrido publicar una entrada a propósito de un par de aplicaciones del teorema de Taylor.

Supongamos que f es una función para la cual existen f^\prime (x_0), \ldots , f^{(n)}(x_0). El polinomio de Taylor de grado n para f en x_0 viene dado por

\displaystyle{ p_n(x)= \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x-x_0)^n.}

El resto de Taylor de orden n para f en x_0 es la diferencia entre la función y su polinomio de Taylor, es decir, r_n(x)=f(x)-p_n(x). La condición del resto asegura que

\displaystyle{\lim_{x \rightarrow x_0} \frac{r_n(x)}{(x-x_0)^n}=0.}

Suponiendo que existen f^\prime, \ldots, f^{(n+1)} en un intervalo (x_0,x), el teorema de Taylor proporciona las siguientes expresiones para algún t \in (x_0,x)

\displaystyle{r_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^n (x-x_0 )},   (Cauchy),

\displaystyle{r_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(t)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}},    (Lagrange).

1. Cálculo de límites con expresiones indeterminadas

Una bonita aplicación de la condición del resto sucede al calcular el límite de una expresión indeterminada sustituyendo las funciones que aparecen por sus polinomios de Taylor. Supongamos por ejemplo que queremos calcular

\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0} \left (\frac{\sin x}{x} \right )^{1/x^2}.}

Tomando logaritmos y aplicando la regla de L’Hôpital resulta

\displaystyle{\log \lim_{x \rightarrow 0}  \left (\frac{\sin x}{x} \right )^{1/x^2} \hskip-1ex =\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^2} \log \left (\frac{\sin x}{x}\right ) = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{2x^2} \frac{x \cos x - \sin x}{\sin x}.}

Aplicando sucesivas veces la regla de L’Hôpital se obtienen expresiones cada vez más complicadas. Un recurso es considerar polinomios de Taylor, digamos

\displaystyle{\cos x = 1-\frac{x^2}{2!} +r_2(x), \hskip1ex\sin x = x - \frac{x^3}{3!}+s_3(x),}

donde los restos r_2(x), s_3(x) satisfacen las condiciones \lim r_2(x)/x^2= 0, \lim s_3(x)/x^3=0 cuando x \rightarrow 0. Tenemos

\displaystyle{\frac{1}{2x^2} \frac{x \cos x - \sin x}{\sin x}= \frac{1}{2} \frac{x}{\sin x} \left [  -\frac{1}{3} + \frac{r_2(x)}{x^2}+ \frac{s_3(x)}{x^3} \right ],}

y esta expresión tiende hacia -1/6 cuando x \rightarrow 0, de donde se deduce que

\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0} \left (\frac{\sin x}{x} \right )^{1/x^2}=\frac{1}{\sqrt[6]{e}}.}

Se puede comprobar este resultado con Wolfram Alpha. Al teclear el código

lim (sin(x)/x)^(1/x^2) as x goes to 0

se obtiene esta respuesta.

2. La base de los logaritmos naturales es un número irracional

Demostración. Razonamos por reducción al absurdo. Supongamos por un momento que e=m/n donde m,n \in \mathbb{Z} son números enteros con n > 0. Considerando el polinomio de Taylor de grado n para la función exponencial

\displaystyle{e^x=1 + x + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + r_n(x),}

y particularizando esta expresión cuando x=1 se obtiene

\displaystyle{\frac{m}{n}=1+1+\frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{n!}+ r_n(1).}

El resto de Lagrange viene dado por r_n(1)=e^t/(n+1)! para algún t \in (0,1) y por lo tanto 0 < r_n < 3/(n+1)! Multiplicando por n! resulta

\displaystyle{(n-1)!m=n!+n!+\frac{n!}{2!} + \cdots + \frac{n!}{n!}+ n! r_n(1).}

Los términos que aparecen en la expresión anterior son enteros pero 0 < n!r_n(1) <3/(n+1) \leq 1, y esto es una contradicción.

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El poder del razonamiento heurístico

12/12/2009

Según el diccionario de la lengua española, la heurística es la técnica de la indagación y del descubrimiento. Desde la antigüedad, la heurística es una rama de la lógica, la filosofía y la psicología que tiene por objetivo estudiar los métodos y las reglas del descubrimiento y la invención. El concepto se hace popular en el siglo XX gracias al matemático húngaro George Pólya con la publicación de su libro How to solve it.

Un razonamiento heurístico es un razonamiento que no se considera definitivo y estricto, sino solamente provisional y plausible, cuyo propósito es descubrir la solución de un problema. Se necesita el razonamiento heurístico cuando se elabora una demostración rigurosa del mismo modo que se necesita el andamio cuando se construye un edificio.

Un buen ejemplo del poder del razonamiento heurístico es la demostración de la regla de la cadena para la derivada de una función compuesta.

Teorema (Regla de la cadena)
Si f es derivable en x_0 y g es derivable en f(x_0) entonces g \circ f es derivable en x_0 y además se tiene (g \circ f)^\prime(x_0)=g^\prime(f(x_0)) \cdot f^\prime(x_0).

La idea principal de la demostración se basa en la siguiente identidad, que es una sencilla consecuencia del viejo truco algebraico de multiplicar y dividir una expresión por la misma cantidad sin que se produzca alteración.

\displaystyle{\frac{g(f(x))-g(f(x_0))}{x-x_0}=\frac{g(f(x))-g(f(x_0))}{f(x)-f(x_0)} \cdot\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}.

Tomando límites cuando x \rightarrow x_0 resulta que el primer factor tiende hacia g^\prime(f(x_0)) mientras que el segundo factor tiende hacia f^\prime(x_0). El problema que presenta este razonamiento es que el denominador f(x)-f(x_0) del primer factor se puede anular. Este razonamiento heurístico se convierte en una demostración rigurosa mediante la introducción de una función auxiliar que soluciona el problema técnico.