El principio de intervalos encajados

El principio de intervalos cerrados encajados de Cantor es otra expresión de la completitud del cuerpo de los números reales. Un sistema de intervalos encajados es cualquier familia de intervalos \{I_\alpha\}_{\alpha \in \Lambda} con la propiedad de que para cada \alpha, \beta \in \Lambda se tiene I_\alpha \subseteq I_\beta o bien I_\beta \subseteq I_\alpha.

Teorema (Principio de intervalos encajados)
Si \{I_n\}_{n \in \mathbb{N}} es un sistema de intervalos cerrados encajados entonces

\displaystyle{\bigcap_{n \in \mathbb{N}} I_n \neq \emptyset.}

Si además se cumple que para cada \varepsilon >0 existe n \in \mathbb{N} tal que \text{diam}(I_n)<\varepsilon entonces la intersección se reduce a un único punto.

Demostración. Sea I_n = [a_n,b_n], donde a_n \leq b_n para cada n \in \mathbb{N}, y sean A=\{a_n:n \in \mathbb{N}\}, B=\{b_n:n \in \mathbb{N}\}. Está claro que A \neq \emptyset \neq B. Como los intervalos están encajados, se tiene la desigualdad a_n \leq b_m para cada n, m \in \mathbb{N}, y de aquí se deduce que A está acotado superiormente y B está acotado inferiormente. Ahora se sigue del axioma del supremo que existen \alpha=\sup A, \beta = \inf B. Es fácil comprobar que entonces

\displaystyle{\bigcap_{n \in \mathbb{N}} I_n =[\alpha,\beta],}

y que bajo la hipótesis adicional se tiene \alpha=\beta.

Como ilustración del principio de intervalos encajados en acción tenemos una demostración alternativa del teorema de Bolzano acerca de la existencia de ceros para una función continua en un intervalo.

Teorema de Bolzano
Si f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R} es una función continua tal que f(a)<0<f(b) entonces existe x_0 \in (a,b) tal que f(x_0)=0.

Demostración. Tomamos el punto medio c=(a+b)/2 del intervalo [a,b]. Si f(c)=0 entonces hemos concluido. Si f(c)>0 entonces elegimos a_1=a, b_1=c, y si f(c)<0 entonces elegimos a_1=c, b_1=b, de modo que f(a_1)<0<f(b_1) y b_1-a_1=(b-a)/2. Ahora tomamos el punto medio c_1=(a_1+b_1)/2 del intervalo [a_1,b_1]. Si f(c_1)=0 entonces hemos concluido. Si f(c_1)>0 entonces elegimos a_2=a_1, b_2=c_1, y si f(c_1)<0 entonces elegimos a_2=c_1, b_2=b_1, de modo que f(a_2)<0<f(b_2) y b_2-a_2=(b-a)/2^2. Continuando este proceso se obtiene una familia \{I_n\}_{n \in \mathbb{N}} de intervalos cerrados encajados I_n=[a_n,b_n] tales que f(a_n)<0<f(b_n) y \text{diam}(I_n)=(b-a)/2^n. Según el principio de intervalos encajados, existe algún número real

\displaystyle{x_0 \in \bigcap_{n \in \mathbb{N}} I_n.}

Afirmamos que f(x_0)=0. Supongamos lo contrario, digamos f(x_0)>0. Como f es continua en x_0, existe \varepsilon >0 tal que f(x)>0 para cada x \in  (x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon). Sea n \in \mathbb{N} tal que \text{diam}(I_n)<\varepsilon. Tenemos x_0 \in I_n \subseteq  (x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon), luego f(a_n)>0, lo cual es absurdo. Cuando f(x_0)<0 se razona de forma análoga.

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