Archive for 21 diciembre 2009

El principio de intervalos encajados

21/12/2009

El principio de intervalos cerrados encajados de Cantor es otra expresión de la completitud del cuerpo de los números reales. Un sistema de intervalos encajados es cualquier familia de intervalos \{I_\alpha\}_{\alpha \in \Lambda} con la propiedad de que para cada \alpha, \beta \in \Lambda se tiene I_\alpha \subseteq I_\beta o bien I_\beta \subseteq I_\alpha.

Teorema (Principio de intervalos encajados)
Si \{I_n\}_{n \in \mathbb{N}} es un sistema de intervalos cerrados encajados entonces

\displaystyle{\bigcap_{n \in \mathbb{N}} I_n \neq \emptyset.}

Si además se cumple que para cada \varepsilon >0 existe n \in \mathbb{N} tal que \text{diam}(I_n)<\varepsilon entonces la intersección se reduce a un único punto.

Demostración. Sea I_n = [a_n,b_n], donde a_n \leq b_n para cada n \in \mathbb{N}, y sean A=\{a_n:n \in \mathbb{N}\}, B=\{b_n:n \in \mathbb{N}\}. Está claro que A \neq \emptyset \neq B. Como los intervalos están encajados, se tiene la desigualdad a_n \leq b_m para cada n, m \in \mathbb{N}, y de aquí se deduce que A está acotado superiormente y B está acotado inferiormente. Ahora se sigue del axioma del supremo que existen \alpha=\sup A, \beta = \inf B. Es fácil comprobar que entonces

\displaystyle{\bigcap_{n \in \mathbb{N}} I_n =[\alpha,\beta],}

y que bajo la hipótesis adicional se tiene \alpha=\beta.

Como ilustración del principio de intervalos encajados en acción tenemos una demostración alternativa del teorema de Bolzano acerca de la existencia de ceros para una función continua en un intervalo.

Teorema de Bolzano
Si f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R} es una función continua tal que f(a)<0<f(b) entonces existe x_0 \in (a,b) tal que f(x_0)=0.

Demostración. Tomamos el punto medio c=(a+b)/2 del intervalo [a,b]. Si f(c)=0 entonces hemos concluido. Si f(c)>0 entonces elegimos a_1=a, b_1=c, y si f(c)<0 entonces elegimos a_1=c, b_1=b, de modo que f(a_1)<0<f(b_1) y b_1-a_1=(b-a)/2. Ahora tomamos el punto medio c_1=(a_1+b_1)/2 del intervalo [a_1,b_1]. Si f(c_1)=0 entonces hemos concluido. Si f(c_1)>0 entonces elegimos a_2=a_1, b_2=c_1, y si f(c_1)<0 entonces elegimos a_2=c_1, b_2=b_1, de modo que f(a_2)<0<f(b_2) y b_2-a_2=(b-a)/2^2. Continuando este proceso se obtiene una familia \{I_n\}_{n \in \mathbb{N}} de intervalos cerrados encajados I_n=[a_n,b_n] tales que f(a_n)<0<f(b_n) y \text{diam}(I_n)=(b-a)/2^n. Según el principio de intervalos encajados, existe algún número real

\displaystyle{x_0 \in \bigcap_{n \in \mathbb{N}} I_n.}

Afirmamos que f(x_0)=0. Supongamos lo contrario, digamos f(x_0)>0. Como f es continua en x_0, existe \varepsilon >0 tal que f(x)>0 para cada x \in  (x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon). Sea n \in \mathbb{N} tal que \text{diam}(I_n)<\varepsilon. Tenemos x_0 \in I_n \subseteq  (x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon), luego f(a_n)>0, lo cual es absurdo. Cuando f(x_0)<0 se razona de forma análoga.

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El poder del razonamiento heurístico

12/12/2009

Según el diccionario de la lengua española, la heurística es la técnica de la indagación y del descubrimiento. Desde la antigüedad, la heurística es una rama de la lógica, la filosofía y la psicología que tiene por objetivo estudiar los métodos y las reglas del descubrimiento y la invención. El concepto se hace popular en el siglo XX gracias al matemático húngaro George Pólya con la publicación de su libro How to solve it.

Un razonamiento heurístico es un razonamiento que no se considera definitivo y estricto, sino solamente provisional y plausible, cuyo propósito es descubrir la solución de un problema. Se necesita el razonamiento heurístico cuando se elabora una demostración rigurosa del mismo modo que se necesita el andamio cuando se construye un edificio.

Un buen ejemplo del poder del razonamiento heurístico es la demostración de la regla de la cadena para la derivada de una función compuesta.

Teorema (Regla de la cadena)
Si f es derivable en x_0 y g es derivable en f(x_0) entonces g \circ f es derivable en x_0 y además se tiene (g \circ f)^\prime(x_0)=g^\prime(f(x_0)) \cdot f^\prime(x_0).

La idea principal de la demostración se basa en la siguiente identidad, que es una sencilla consecuencia del viejo truco algebraico de multiplicar y dividir una expresión por la misma cantidad sin que se produzca alteración.

\displaystyle{\frac{g(f(x))-g(f(x_0))}{x-x_0}=\frac{g(f(x))-g(f(x_0))}{f(x)-f(x_0)} \cdot\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}.

Tomando límites cuando x \rightarrow x_0 resulta que el primer factor tiende hacia g^\prime(f(x_0)) mientras que el segundo factor tiende hacia f^\prime(x_0). El problema que presenta este razonamiento es que el denominador f(x)-f(x_0) del primer factor se puede anular. Este razonamiento heurístico se convierte en una demostración rigurosa mediante la introducción de una función auxiliar que soluciona el problema técnico.