Números algebraicos y números transcendentes

Definición. Un número algebraico es cualquier raíz real de un polinomio

p(x)=a_nx^n + \cdots +a_1x+a_0

con coeficientes enteros a_0,a_1, \ldots,a_n \in \mathbb{Z}. Un número real que no sea algebraico se llama transcendente.

Cualquier número racional es algebraico. Un ejemplo de número algebraico irracional es x= \sqrt{2} por ser raíz del polinomio p(x)=x^2-2. Razonando con un argumento de cardinalidad se puede probar que existen muchos números transcendentes. Demostrar que un número real es transcendente puede ser extremadamente complicado. Ejemplos de números transcendentes son e, \pi, 2^{\sqrt{2}}. El siguiente resultado proporciona muchos otros ejemplos de números transcendentes.

Teorema de Gelfond-Schneider. Si \alpha, \beta son números algebraicos con \alpha \notin \{ 0,1\} y \beta \notin \mathbb{Q} entonces cualquier valor de \alpha^\beta es transcendente.

Una fuente de números algebraicos irracionales viene dada por el siguiente resultado, que figura como ejercicio 19 en la relación de problemas 1.1.

Proposición. Si un número real x \in \mathbb{R} es solución de una ecuación algebraica x^n + a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x+a_0=0 con coeficientes enteros a_0,a_1, \ldots,a_{n-1} \in \mathbb{Z} entonces x es irracional si no es entero.

Demostración. Supongamos que x=p/q es una solución racional de la ecuación con p,q \in \mathbb{Z} coprimos, de modo que

p^n + a_{n-1}p^{n-1}q + \cdots +a_1pq^{n-1}+a_0q^n=0.

Ahora se sigue que q es un divisor de p^n. Como p,q no tienen factores comunes resulta que q=1, es decir, x \in \mathbb{Z}.

Observación. El razonamiento de la demostración indica que las soluciones enteras de la ecuación son divisores de a_0.

Ejemplo. Consideremos el número real x=\sqrt[3]{\sqrt{2}+1} y observemos que (x^3-1)^2=2, luego x^6-2x^3-1=0, pero esta ecuación no tiene soluciones enteras, luego x debe ser irracional.

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2 comentarios to “Números algebraicos y números transcendentes”

  1. Juan Antonio Castañeda Cortázar Says:

    Miguel puedes darme una orientacion sobre que tipo de ecuacion debo buscar para la demostracion del ejercicio 20 (probar que \sqrt{2}+\sqrt[3]{2} es un número irracional.)

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