La propiedad arquimediana

El axioma del supremo asegura que cualquier conjunto de números reales no vacío y acotado superiormente tiene cota superior mínima. La propiedad arquimediana de la suma es una importante consecuencia de este axioma.

Proposición. Si a, b \in \mathbb{R} son números reales con a > 0 entonces existe un número natural n \in \mathbb{N} tal que na > b.

Demostración. Razonamos por reducción al absurdo. Supongamos por un momento que para cualquier número natural n \in \mathbb{N} se tiene la desigualdad na \leq b. Consideremos el conjunto A=\{na : n \in \mathbb{N}\}. Tenemos a \in A, de modo que A \neq \emptyset. Además, A está acotado superiormente porque b es una cota superior de A. Ahora se sigue del axioma del supremo que existe \alpha = \sup A. Observemos que \alpha - a  < b, de manera que \alpha  < (n+1)a. Esto es una contradicción porque así \alpha no es cota superior de A.

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16 comentarios to “La propiedad arquimediana”

  1. ismael jimenez Says:

    No entiendo muy bien esta propiedad, me lo podria explicar de otra forma

    • Miguel Lacruz Says:

      Una consecuencia de la propiedad arquimediana es que para cada \varepsilon > 0 existe un número natural n \in \mathbb{N} tal que 1/n < \varepsilon. Es fácil probar que esta condición es equivalente a la propiedad arquimediana.

  2. ismael jimenez Says:

    Entonces, la propiedad arquimediana quiere decir que: Si x > 0 e y es un número real arbitrario, existe un entero positivo n tal que nx > y. Geométricamente significa que cada segmento, tan largo como se quiera, puede ser recubierto por un número finito de segmentos de longitud positiva dada, tan pequeña como se quiera. En otras palabras, una regla corta puede medir distancias tan largas como se quiera colocándola consecutivamente.

    ¿Esto seria correcto?

    Gracias por todo.

  3. saxi Says:

    En la demostración, diría que hay un error cuando se afirma que \alpha - a < a, debería ser \alpha - a < b.

    Gracias por la buena labor del blog.

    [Corregido, gracias, M.L.]

  4. Armando Lara Says:

    Buen día.

    La propiedad arquimediana es consecuencia del axioma de la cota superior mínima. Y en los reales ambas se cumplen.

    Estoy introduciendome al cálculo infinitesimal y me preguntaba porqué los racionales si cumplen la propiedad arquimediana y no el axioma de la cota superior mínima.

    Si bien esto es un ejercicio de Calculus de Apostol pero no logré resolverlo y no hay solucionario en la red.

    Le agradecería a quien me sacara de la duda

    • Miguel Lacruz Says:

      Armando, la propiedad arquimediana se cumple en el cuerpo \mathbb{Q} de los números racionales porque \mathbb{Q} es denso en el cuerpo \mathbb{R} de los números reales.

      El axioma del supremo no se cumple en \mathbb{Q}. Hay que construir un contraejemplo de un conjunto A \subseteq \mathbb{R} no vacío y acotado superiormente que no tenga cota superior mínima. Mi indicación es que consideres el conjunto

      \displaystyle{A= \{ x \in \mathbb{Q}: x^2 < 2\}.}

      Saludos,
      Miguel

      • Alguien Says:

        POneis cosas muy raras. Deberías simplificarlas un poco para que no sean tan complejas.

  5. Alguien Says:

    Si alguien no entiende bien esta propiedad que busquen por Paradoja de Aquiles y la tortuga. Lo encontraran mucho más fácil y sin tanta complicación.

  6. monsesitaa Says:

    disculpe los numeros complejos cumplen con la propiedad arquimediana??

  7. ivcarman Says:

    no, porque los complejos no son ordenados.

  8. Francisco Says:

    La propiedad arquimediana de los numeros reales, re
    eja algo as como el sentido
    comun llevado al mundo de las magnitudes. Cuando se quiere medir el largo de un segmento
    llevando sobre el un segmento unidad, siempre es posible dejar un resto (si es que lo hay)
    inferior a la unidad. O lo que es lo mismo, es posible llevar el segmento unidad una cantidad
    su ciente de veces sobre el segmento a medir, de modo que se termina por sobrepasarlo.
    Esta situacion con los smbolos que hemos introducido puede escribirse como: dado b
    (segmento a medir) y a (segmento unidad), siempre existe un numero natural n tal que
    n  a > b. Si en particular tenemos a = 1, entonces dado b siempre existe n tal que n > b.
    Son diferentes maneras de expresar una misma propiedad.

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