La fórmula del binomio

Teorema. Si a,b \in \mathbb{R} son números reales y n \in \mathbb{N} es un número natural entonces se tiene la identidad

\displaystyle{(a+b)^n = \sum_{k=0}^n \left ( \hskip -1ex\begin{array}{c} n \\ k \end{array}\hskip -1ex \right ) a^{n-k}\,b^k.}

Demostración. Razonamos por inducción matemática. La identidad es trivial cuando n=1 puesto que

\displaystyle{(a+b)^1 = \left ( \hskip -1ex\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}\hskip -1ex \right ) a + \left ( \hskip -1ex\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}\hskip -1ex \right ) b.}

Supongamos que el resultado es cierto para un número natural n \in \mathbb{N}. Observemos que (a+b)^{n+1} = a(a+b)^n + b(a+b)^n. Aplicando ahora la hipótesis de inducción resulta

\displaystyle{(a+b)^{n+1} = \sum_{k=0}^n \left ( \hskip -1ex\begin{array}{c} n \\ k \end{array}\hskip -1ex \right ) a^{n+1-k}\,b^k + \sum_{k=0}^n \left ( \hskip -1ex\begin{array}{c} n \\ k \end{array}\hskip -1ex \right ) a^{n-k}\,b^{k+1}.}

El segundo término de la derecha se puede expresar como

\displaystyle{\sum_{k=1}^{n+1} \left ( \hskip -1ex\begin{array}{c} n \\ k-1 \end{array}\hskip -1ex \right ) a^{n+1-k}\,b^k,}

de donde se sigue que

\displaystyle{(a+b)^{n+1} = a^{n+1}+b^{n+1} + \sum_{k=1}^n \left [ \left ( \hskip -1ex\begin{array}{c} n \\ k \end{array}\hskip -1ex \right )  +  \left ( \hskip -1ex\begin{array}{c} n \\ k-1 \end{array}\hskip -1ex \right ) \right ] a^{n+1-k}\,b^k.}

Teniendo en cuenta la identidad de Pascal

\displaystyle{\left ( \hskip -1ex\begin{array}{c} n \\ k \end{array}\hskip -1ex \right )  +  \left ( \hskip -1ex\begin{array}{c} n \\ k-1 \end{array}\hskip -1ex \right )=\left ( \hskip -1ex\begin{array}{c} n+1 \\ k \end{array}\hskip -1ex \right ) }

se deduce que

\displaystyle{(a+b)^{n+1} = \sum_{k=0}^{n+1} \left ( \hskip -1ex\begin{array}{c} n+1 \\ k \end{array}\hskip -1ex \right ) a^{n+1-k}\,b^k,}

y esto completa el paso inductivo.

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3 comentarios to “La fórmula del binomio”

  1. Javier Franco Pérez Says:

    Me gustaría que explicara con detalle la identidad de Pascal ya que al menos en mi caso, y creo que en el de otros compañeros, no conocemos el tema de las permutaciones, con el fin de poder entender la demostración del binomio de Newton, ya que en él se hace uso de esta identidad.
    Gracias

  2. abraham Says:

    perfecta demostración, un saludo… quisiera recibir notificaciones de cosas nuevas que publiquen… bye

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