La raíz cuadrada de dos es un número irracional

Teorema. La ecuación x^2=2 no tiene ninguna solución racional x \in \mathbb{Q}.

Demostración. Razonamos por reducción al absurdo. Supongamos que existe un número racional x \in \mathbb{Q} tal que x^2=2. Digamos que x=n/m, donde n, m \in \mathbb{Z} no tienen factores comunes. Como n^2/m^2=2, se sigue que n^2=2m^2, de modo que n^2 es par y por lo tanto n también es par. Tenemos n=2r para algún r \in \mathbb{Z} luego n^2=4r^2 y ahora 4r^2=2m^2, de donde m^2 = 2r^2, es decir, m^2 es par y por lo tanto m tambien es par. Hemos llegado a la conclusión de que tanto m como n son pares, y esto contradice la suposición de que m, n no tienen factores comunes.

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6 comentarios to “La raíz cuadrada de dos es un número irracional”

  1. jesus moreno Says:

    muy buena explicación interactiva y además actualizada al día, se puede compajinar a la perfección con los apuntes de clase, un saludo

  2. Francisco Martínez Says:

    Es una gran explicación y, además, aclarar que esto mismo se puede aplicar a otros números irracionales como la raiz cuadrada de 6, por el mismo motivo ya que 6 = 2 * 3 y tanto m como n serían pares. Un saludo

    • Miguel Lacruz Says:

      También funciona con la raíz cuadrada de seis pero no por la razón que tú indicas. Piensa que la raíz cuadrada de cuatro también sería irracional por el mismo motivo. El quid de la cuestión está en que si m^2 es múltiplo de seis entonces m también es múltiplo de seis. Observa que esto no funciona con la raíz cuadrada de cuatro porque, por ejemplo, m=10 no es múltiplo de cuatro mientras que su cuadrado m^2=100 sí es múltiplo de cuatro. La pregunta entonces es la siguiente. ¿Qué números naturales r \in \mathbb{N} tienen la propiedad de que su raíz cuadrada \sqrt{r} es un número irracional?

  3. Juan Antonio Castañeda Cortázar Says:

    se puede demostrar que para dos números irracionales que no sean opuestos (α, -α), su suma es necesariamente un número irracional

  4. Juan Antonio Castañeda Cortázar Says:

    el comentario anterior es una pregunta, se me olvidó porner los signos de interrogación perdon por las molestias

  5. Miguel Lacruz Says:

    Juan Antonio, tu pregunta viene a decir que si \alpha, \beta \in \mathbb{R} son irracionales y \alpha + \beta \neq 0 entonces \alpha + \beta es irracional. La respuesta es negativa; por ejemplo \alpha = \sqrt{2} es irracional, \beta = 1 - \sqrt{2} también es irracional, pero su suma \alpha + \beta = 1 es racional. Quizás quieras formular tu pregunta de manera alternativa.

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