Archive for 27 octubre 2009

Números algebraicos y números transcendentes

27/10/2009

Definición. Un número algebraico es cualquier raíz real de un polinomio

p(x)=a_nx^n + \cdots +a_1x+a_0

con coeficientes enteros a_0,a_1, \ldots,a_n \in \mathbb{Z}. Un número real que no sea algebraico se llama transcendente.

Cualquier número racional es algebraico. Un ejemplo de número algebraico irracional es x= \sqrt{2} por ser raíz del polinomio p(x)=x^2-2. Razonando con un argumento de cardinalidad se puede probar que existen muchos números transcendentes. Demostrar que un número real es transcendente puede ser extremadamente complicado. Ejemplos de números transcendentes son e, \pi, 2^{\sqrt{2}}. El siguiente resultado proporciona muchos otros ejemplos de números transcendentes.

Teorema de Gelfond-Schneider. Si \alpha, \beta son números algebraicos con \alpha \notin \{ 0,1\} y \beta \notin \mathbb{Q} entonces cualquier valor de \alpha^\beta es transcendente.

Una fuente de números algebraicos irracionales viene dada por el siguiente resultado, que figura como ejercicio 19 en la relación de problemas 1.1.

Proposición. Si un número real x \in \mathbb{R} es solución de una ecuación algebraica x^n + a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x+a_0=0 con coeficientes enteros a_0,a_1, \ldots,a_{n-1} \in \mathbb{Z} entonces x es irracional si no es entero.

Demostración. Supongamos que x=p/q es una solución racional de la ecuación con p,q \in \mathbb{Z} coprimos, de modo que

p^n + a_{n-1}p^{n-1}q + \cdots +a_1pq^{n-1}+a_0q^n=0.

Ahora se sigue que q es un divisor de p^n. Como p,q no tienen factores comunes resulta que q=1, es decir, x \in \mathbb{Z}.

Observación. El razonamiento de la demostración indica que las soluciones enteras de la ecuación son divisores de a_0.

Ejemplo. Consideremos el número real x=\sqrt[3]{\sqrt{2}+1} y observemos que (x^3-1)^2=2, luego x^6-2x^3-1=0, pero esta ecuación no tiene soluciones enteras, luego x debe ser irracional.

La propiedad arquimediana

20/10/2009

El axioma del supremo asegura que cualquier conjunto de números reales no vacío y acotado superiormente tiene cota superior mínima. La propiedad arquimediana de la suma es una importante consecuencia de este axioma.

Proposición. Si a, b \in \mathbb{R} son números reales con a > 0 entonces existe un número natural n \in \mathbb{N} tal que na > b.

Demostración. Razonamos por reducción al absurdo. Supongamos por un momento que para cualquier número natural n \in \mathbb{N} se tiene la desigualdad na \leq b. Consideremos el conjunto A=\{na : n \in \mathbb{N}\}. Tenemos a \in A, de modo que A \neq \emptyset. Además, A está acotado superiormente porque b es una cota superior de A. Ahora se sigue del axioma del supremo que existe \alpha = \sup A. Observemos que \alpha - a  < b, de manera que \alpha  < (n+1)a. Esto es una contradicción porque así \alpha no es cota superior de A.

Euclides y sus primos

11/10/2009

El teorema fundamental de la aritmética aparece publicado en los Elementos de Euclides, Libro VII, proposiciones 30 y 32. La primera demostración completa y correcta del resultado se debe a Gauss. A continuación presentamos la demostración de Euclides para la existencia.

Teorema Fundamental de la Aritmética. Cualquier número natural mayor que uno se descompone como producto de factores primos. Además, la descomposición es única salvo el orden de los factores.

Demostración. Razonamos por inducción completa. La proposición es trivial cuando n=2 porque se trata de un número primo. Supongamos que cualquier número natural m \in \{2,3, \ldots , n\} se descompone como producto de factores primos y veamos cómo n+1 también admite una factorización de este tipo. Si n+1 es primo entonces la descomposición es trivial, y en caso contrario n+1=r \cdot s donde 2 \leq r, s\leq n. La hipótesis de inducción conduce a factorizaciones r=p_1 \cdots p_j, s=q_1 \cdots q_k, de donde se obtiene la descomposición n+1=p_1 \cdots p_j \cdot q_1 \cdots q_k.

*   *   *   *   *

Existen infinitos números primos. La demostración más antigua que se conoce para este resultado se debe a Euclides y aparece publicada en sus Elementos, Libro IX, Proposición 20.

Teorema de Euclides. Existe una cantidad infinita de números primos.

Demostración. Razonamos por reducción al absurdo. Supongamos que solamente hay una cantidad finita de números primos, digamos p_1, \ldots , p_r. Ahora definimos n= p_1 \cdots p_r+1 y observamos que n no es divisible por ningún p_j cuando 1 \leq j \leq r porque el resto de la división es igual a uno. La contradicción ha llegado porque n+1 bien es primo y hemos comcluido o bien tiene un factor primo p de modo que p \notin \{p_1 \ldots , p_r\} y también hemos concluido.

La fórmula del binomio

09/10/2009

Teorema. Si a,b \in \mathbb{R} son números reales y n \in \mathbb{N} es un número natural entonces se tiene la identidad

\displaystyle{(a+b)^n = \sum_{k=0}^n \left ( \hskip -1ex\begin{array}{c} n \\ k \end{array}\hskip -1ex \right ) a^{n-k}\,b^k.}

Demostración. Razonamos por inducción matemática. La identidad es trivial cuando n=1 puesto que

\displaystyle{(a+b)^1 = \left ( \hskip -1ex\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}\hskip -1ex \right ) a + \left ( \hskip -1ex\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}\hskip -1ex \right ) b.}

Supongamos que el resultado es cierto para un número natural n \in \mathbb{N}. Observemos que (a+b)^{n+1} = a(a+b)^n + b(a+b)^n. Aplicando ahora la hipótesis de inducción resulta

\displaystyle{(a+b)^{n+1} = \sum_{k=0}^n \left ( \hskip -1ex\begin{array}{c} n \\ k \end{array}\hskip -1ex \right ) a^{n+1-k}\,b^k + \sum_{k=0}^n \left ( \hskip -1ex\begin{array}{c} n \\ k \end{array}\hskip -1ex \right ) a^{n-k}\,b^{k+1}.}

El segundo término de la derecha se puede expresar como

\displaystyle{\sum_{k=1}^{n+1} \left ( \hskip -1ex\begin{array}{c} n \\ k-1 \end{array}\hskip -1ex \right ) a^{n+1-k}\,b^k,}

de donde se sigue que

\displaystyle{(a+b)^{n+1} = a^{n+1}+b^{n+1} + \sum_{k=1}^n \left [ \left ( \hskip -1ex\begin{array}{c} n \\ k \end{array}\hskip -1ex \right )  +  \left ( \hskip -1ex\begin{array}{c} n \\ k-1 \end{array}\hskip -1ex \right ) \right ] a^{n+1-k}\,b^k.}

Teniendo en cuenta la identidad de Pascal

\displaystyle{\left ( \hskip -1ex\begin{array}{c} n \\ k \end{array}\hskip -1ex \right )  +  \left ( \hskip -1ex\begin{array}{c} n \\ k-1 \end{array}\hskip -1ex \right )=\left ( \hskip -1ex\begin{array}{c} n+1 \\ k \end{array}\hskip -1ex \right ) }

se deduce que

\displaystyle{(a+b)^{n+1} = \sum_{k=0}^{n+1} \left ( \hskip -1ex\begin{array}{c} n+1 \\ k \end{array}\hskip -1ex \right ) a^{n+1-k}\,b^k,}

y esto completa el paso inductivo.

Inducción matemática

08/10/2009

La inducción matemática es una forma de demostración que se usa para establecer la validez de una proposición acerca de los números naturales. Se procede probando que la proposición es cierta para el primer número natural y después probando que si la proposición es cierta para un número natural entonces también es cierta para el siguiente. Este método se puede enunciar formalmente del siguiente modo.


Principio de inducción matemática.
Sea P \subseteq \mathbb{N} y supongamos que

  • 1 \in P,
  • n \in P \Longrightarrow n+1 \in P.

Entonces P=\mathbb{N}.

El conjunto P representa a aquellos números naturales que satisfacen la proposición que se quiere demostrar. La condición n \in P se llama hipótesis de inducción y la implicación n \in P \Longrightarrow n+1 \in P se llama paso inductivo. La siguiente forma equivalente del principio de inducción matemática consiste en realizar la hipótesis de inducción sobre un número natural y todos los anteriores a él.


Principio de inducción completa.
Sea P \subseteq \mathbb{N} y supongamos que

  • 1 \in P,
  • \{1, \ldots ,  n\} \subseteq P \Longrightarrow n+1 \in P.

Entonces P=\mathbb{N}.

La raíz cuadrada de dos es un número irracional

08/10/2009

Teorema. La ecuación x^2=2 no tiene ninguna solución racional x \in \mathbb{Q}.

Demostración. Razonamos por reducción al absurdo. Supongamos que existe un número racional x \in \mathbb{Q} tal que x^2=2. Digamos que x=n/m, donde n, m \in \mathbb{Z} no tienen factores comunes. Como n^2/m^2=2, se sigue que n^2=2m^2, de modo que n^2 es par y por lo tanto n también es par. Tenemos n=2r para algún r \in \mathbb{Z} luego n^2=4r^2 y ahora 4r^2=2m^2, de donde m^2 = 2r^2, es decir, m^2 es par y por lo tanto m tambien es par. Hemos llegado a la conclusión de que tanto m como n son pares, y esto contradice la suposición de que m, n no tienen factores comunes.

Reducción al absurdo

07/10/2009

La reducción al absurdo es una forma de demostración que establece la validez de una proposición probando que la premisa de que la proposición sea falsa implica una contradicción.