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El poder del razonamiento heurístico

12/12/2009

Según el diccionario de la lengua española, la heurística es la técnica de la indagación y del descubrimiento. Desde la antigüedad, la heurística es una rama de la lógica, la filosofía y la psicología que tiene por objetivo estudiar los métodos y las reglas del descubrimiento y la invención. El concepto se hace popular en el siglo XX gracias al matemático húngaro George Pólya con la publicación de su libro How to solve it.

Un razonamiento heurístico es un razonamiento que no se considera definitivo y estricto, sino solamente provisional y plausible, cuyo propósito es descubrir la solución de un problema. Se necesita el razonamiento heurístico cuando se elabora una demostración rigurosa del mismo modo que se necesita el andamio cuando se construye un edificio.

Un buen ejemplo del poder del razonamiento heurístico es la demostración de la regla de la cadena para la derivada de una función compuesta.

Teorema (Regla de la cadena)
Si f es derivable en x_0 y g es derivable en f(x_0) entonces g \circ f es derivable en x_0 y además se tiene (g \circ f)^\prime(x_0)=g^\prime(f(x_0)) \cdot f^\prime(x_0).

La idea principal de la demostración se basa en la siguiente identidad, que es una sencilla consecuencia del viejo truco algebraico de multiplicar y dividir una expresión por la misma cantidad sin que se produzca alteración.

\displaystyle{\frac{g(f(x))-g(f(x_0))}{x-x_0}=\frac{g(f(x))-g(f(x_0))}{f(x)-f(x_0)} \cdot\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}.

Tomando límites cuando x \rightarrow x_0 resulta que el primer factor tiende hacia g^\prime(f(x_0)) mientras que el segundo factor tiende hacia f^\prime(x_0). El problema que presenta este razonamiento es que el denominador f(x)-f(x_0) del primer factor se puede anular. Este razonamiento heurístico se convierte en una demostración rigurosa mediante la introducción de una función auxiliar que soluciona el problema técnico.


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