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La sucesión de Fibonacci

17/11/2009

La sucesión de Fibonacci es un ejemplo de un objeto con una descripción matemática sencilla pero con muchas propiedades extrañas y complicadas. Fibonacci es el sobrenombre de Leonardo de Pisa, quien introdujo en Europa el sistema de numeración árabe alrededor del año 1200.

1. Los conejos de Fibonacci
La sucesión de Fibonacci aparece en su obra Liber Abaci como una solución al problema del crecimiento de una población de conejos. Supongamos que una pareja de conejos, tras haber alcanzado su madurez, produce otra pareja de conejos al mes. Supongamos también que los conejos alcanzan su madurez al cabo de dos meses. Empezando con una pareja de conejos recién nacidos, describir cuántos conejos se reproducen en meses sucesivos.

Al final del primer mes, hay una pareja. Al final del segundo mes, todavía hay una pareja, que ya ha madurado. Al final del tercer mes, la pareja ha producido una nueva pareja, de modo que ahora hay dos parejas. Al final del cuarto mes, la primera pareja ha producido otra nueva pareja mientras que la segunda pareja ha madurado, de modo que ahora ya hay tres parejas. Siguiendo de esta forma se advierte que la siguiente sucesión de números describe la reproducción de los conejos

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, \ldots

Observemos que cada término de esta sucesión es precisamente la suma de los dos términos anteriores. La sucesión de Fibonacci (F_n) se define a partir de condiciones semilla F_1=F_2=1 mediante la relación de recurrencia

F_{n+2}=F_{n+1}+F_n\,.

2. El linaje de las abejas
Las abejas tienen un árbol genealógico extraño. La sucesión de Fibonacci describe el número de antepasados de las abejas. Veamos en primer lugar algunos hechos insólitos acerca de la colmena.

  • Una abeja especial, la reina, es la única hembra que pone huevos,
  • Hay muchas abejas obreras, que son hembras pero no ponen huevos,
  • Hay algunos zánganos, que son machos y no trabajan.
  • Los zánganos provienen de huevos sin fertilizar, por eso no tienen padre.
  • Las hembras provienen del apareamiento de la reina con un macho, por esa razón tienen tanto padre como madre.

Si trazamos el arbol genealógico de un zángano (1 abeja), solamente tiene una madre (1 abeja), dos abuelos que son macho y hembra (2 abejas), tres bisabuelos que son un macho y dos hembras (3 abejas), y reiterando este proceso aparece la sucesión de Fibonacci. Si trazamos el árbol genealógico de una hembra llegamos a un resultado parecido.

3. La proporción áurea
Se dice los lados de un rectángulo tienen la proporción áurea \varphi si al eliminar una sección cuadrada del rectángulo, los lados del rectángulo restante están en la misma proporción. Consideremos el rectángulo de la figura

y supongamos que sus lados tienen la proporción áurea, de modo que se verifica la relación de proporcionalidad

\displaystyle{\frac{a+b}{a}=\frac{a}{b}.}

Un sencillo cálculo indica que entonces la proporción áurea \varphi es la solución positiva de la ecuación \varphi^2 -\varphi -1=0 y por lo tanto

\displaystyle{\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}}.

La siguiente construcción de un rectángulo áureo aparece en los Elementos de Euclides, concretamente en la proposición 2.11.

A partir del cuadrado ABCD se halla el punto medio G del segmento AB. Así |GC|=|GE|=\sqrt{5}, luego |AE|=|AG|+|GE|=1 + \sqrt{5}, y por lo tanto los lados del rectángulo AEFD tienen la proporción áurea.

Consideremos la sucesión de los cocientes entre los términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci, es decir,

\displaystyle{\frac{1}{1}\,,\; \frac{2}{1}\,,\; \frac{3}{2}\,,\;  \frac{5}{3}\,,\;  \frac{8}{5}\,,\; \frac{13}{8}\,,\;  \frac{21}{13}\,,\;  \frac{34}{21}\,,\;\frac{55}{34}\,,\;\frac{89}{34}\,,\; \cdots}

Resulta que esta sucesión converge hacia la proporción áurea,

\displaystyle{\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{F_{n+1}}{F_n}=\varphi.}

Esta propiedad, descubierta por el astrónomo alemán Johannes Kepler, pone de manifiesto la íntima conexión que existe entre la sucesión de Fibonacci y la proporción áurea.

4. Las espirales de los girasoles
La disposición regular de los órganos laterales de una planta (como las hojas en un tallo o los brotes en una flor compuesta), es un importante aspecto de la forma de las plantas conocido como filotaxia.

El área de la filotaxia está repleta de interesantes relaciones matemáticas, por ejemplo, la extraordinaria predominancia de la sucesión de Fibonacci en el número de espirales a lo largo de un patrón filotáctico.

Un modelo propuesto por H. Vogel para describir la estructura del girasol está relacionado con problemas de empaquetamiento. La clave para este modelo es el ángulo de Fibonacci

\displaystyle{\frac{360^{\rm o}}{\varphi^2} \simeq 137.5^{\rm o}}

Vogel propone que el patrón de los brotes en el girasol obedece la fórmula

\theta= n \ast 137.5^{\rm o}, \;\;\; r=c\sqrt{n},

donde n es el número de orden del brote contado desde el centro hacia afuera, \theta es el ángulo entre una dirección de referencia y el vector de posición del brote, r es la distancia del centro del girasol al centro del brote, y finalmente, c es un factor de escala constante. Se sigue que el ángulo de divergencia \alpha=137.5^{\rm o} entre dos brotes consecutivos es constante.

La raíz cuadrada que relaciona la distancia con el número de orden del brote tiene una simple explicación geométrica. Suponiendo que los brotes tienen el mismo tamaño y que el empaquetamiento es denso, el número de brotes que caben dentro de un disco de radio r es proporcional al área del disco, es decir que r \sim \sqrt{n}.

Es más difícil explicar el ángulo de divergencia, que Vogel deduce a partir del supuesto de que cada brote encaja en el mayor hueco que exista entre brotes anteriores. La siguiente figura ilustra el crítico papel que desempeña el ángulo de divergencia al generar patrones filotácticos en un disco cuando {\rm (a)}\; \alpha=137.4^{\rm o},\;\; {\rm (b)}\; \alpha=137.5^{\rm o},\;\;{\rm (c)}\; \alpha=137.6^{\rm o}.

El modelo de Vogel describe correctamente la disposición de los brotes en flores reales. La característica más destacada son dos conjuntos de espirales llamadas parastiquios, que girando el uno en sentido horario y el otro en sentido antihorario, están compuestas de brotes adyacentes. El número de espirales en cada parastiquio es siempre un término de la sucesión de Fibonacci, oscilando desde 21 y 34 para una flor pequeña hasta 89 y 144 e incluso 144 y 233 para una flor grande. La margarita de la siguiente imagen sintética muestra 34 espirales horarias y 21 espirales antihorarias.

La siguiente imagen de un girasol permite discernir 34 espirales horarias y 55 espirales antihorarias. El número de espirales que se perciben depende del tamaño de la flor en términos de el número de los brotes que la componen. Si el campo de atención se limita a un disco de aproximadamente 2/3 del tamaño de la flor, entonces el número de espirales que se pueden discernir se convierte en 34 y 21.

Nota: Esta sección es una adaptación de parte del cuarto capítulo del libro The Algorithmic Beauty of Plants, que se puede descargar gratuitamente desde el sitio Algorithmic Botany.


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