La fórmula del binomio

Teorema. Si $a,b \in \mathbb{R}$ son números reales y $n \in \mathbb{N}$ es un número natural entonces se tiene la identidad

$\displaystyle{(a+b)^n = \sum_{k=0}^n \left ( \hskip -1ex\begin{array}{c} n \\ k \end{array}\hskip -1ex \right ) a^{n-k}\,b^k.}$

Demostración. Razonamos por inducción matemática. La identidad es trivial cuando $n=1$ puesto que

$\displaystyle{(a+b)^1 = \left ( \hskip -1ex\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}\hskip -1ex \right ) a + \left ( \hskip -1ex\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}\hskip -1ex \right ) b.}$

Supongamos que el resultado es cierto para un número natural $n \in \mathbb{N}$ . Observemos que $(a+b)^{n+1} = a(a+b)^n + b(a+b)^n$ . Aplicando ahora la hipótesis de inducción resulta

$\displaystyle{(a+b)^{n+1} = \sum_{k=0}^n \left ( \hskip -1ex\begin{array}{c} n \\ k \end{array}\hskip -1ex \right ) a^{n+1-k}\,b^k + \sum_{k=0}^n \left ( \hskip -1ex\begin{array}{c} n \\ k \end{array}\hskip -1ex \right ) a^{n-k}\,b^{k+1}.}$

El segundo término de la derecha se puede expresar como

$\displaystyle{\sum_{k=1}^{n+1} \left ( \hskip -1ex\begin{array}{c} n \\ k-1 \end{array}\hskip -1ex \right ) a^{n+1-k}\,b^k,}$

de donde se sigue que

$\displaystyle{(a+b)^{n+1} = a^{n+1}+b^{n+1} + \sum_{k=1}^n \left [ \left ( \hskip -1ex\begin{array}{c} n \\ k \end{array}\hskip -1ex \right ) + \left ( \hskip -1ex\begin{array}{c} n \\ k-1 \end{array}\hskip -1ex \right ) \right ] a^{n+1-k}\,b^k.}$

Teniendo en cuenta la identidad de Pascal

$\displaystyle{\left ( \hskip -1ex\begin{array}{c} n \\ k \end{array}\hskip -1ex \right ) + \left ( \hskip -1ex\begin{array}{c} n \\ k-1 \end{array}\hskip -1ex \right )=\left ( \hskip -1ex\begin{array}{c} n+1 \\ k \end{array}\hskip -1ex \right ) }$

se deduce que

$\displaystyle{(a+b)^{n+1} = \sum_{k=0}^{n+1} \left ( \hskip -1ex\begin{array}{c} n+1 \\ k \end{array}\hskip -1ex \right ) a^{n+1-k}\,b^k,}$

y esto completa el paso inductivo.

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Etiquetas: Fórmula del binomio, Inducción matemática

This entry was posted on 09/10/2009 at 20:53 and is filed under Números reales. Puedes seguir las respuestas de esta entrada a través de sindicación RSS 2.0. Puedes dejar una respuesta, o trackback desde tu propio sitio.

3 comentarios para “La fórmula del binomio”

Javier Franco Pérez Dice:
20/10/2009 a las 17:41 | Responder
Me gustaría que explicara con detalle la identidad de Pascal ya que al menos en mi caso, y creo que en el de otros compañeros, no conocemos el tema de las permutaciones, con el fin de poder entender la demostración del binomio de Newton, ya que en él se hace uso de esta identidad.
Gracias
abraham Dice:
04/12/2010 a las 07:55 | Responder
perfecta demostración, un saludo… quisiera recibir notificaciones de cosas nuevas que publiquen… bye
- Miguel Lacruz Dice:
  05/12/2010 a las 00:30 | Responder
  Abraham, este curso estoy publicando artículos en otro blog
  
  http://cafematematico.wordpress.com
  
  Saludos,
  Miguel