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Definición. Un número algebraico es cualquier raíz real de un polinomio
con coeficientes enteros |
. Un número real que no sea algebraico se llama transcendente.Cualquier número racional es algebraico. Un ejemplo de número algebraico irracional es 
Teorema de Gelfond-Schneider. Si  son números algebraicos con  y  entonces cualquier valor de  es transcendente.
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Una fuente de números algebraicos irracionales viene dada por el siguiente resultado, que figura como ejercicio 19 en la relación de problemas 1.1.
Proposición. Si un número real  es solución de una ecuación algebraica  con coeficientes enteros  entonces  es irracional si no es entero.
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Demostración. Supongamos que 
Ahora se sigue que 
Observación. El razonamiento de la demostración indica que las soluciones enteras de la ecuación son divisores de 
Ejemplo. Consideremos el número real ![x=\sqrt[3]{\sqrt{2}+1}](http://s0.wp.com/latex.php?latex=x%3D%5Csqrt%5B3%5D%7B%5Csqrt%7B2%7D%2B1%7D&bg=ffffff&fg=333333&s=0 "x=\sqrt[3]{\sqrt{2}+1}")
son números reales con 
entonces existe un número natural 
tal que 
. Consideremos el conjunto 
Tenemos 
, de modo que 
. Además, 
está acotado superiormente porque 
es una cota superior de 
. Observemos que 
, de manera que 
. Esto es una contradicción porque así 
no es cota superior de 
porque se trata de un número primo. Supongamos que cualquier número natural 
se descompone como producto de factores primos y veamos cómo 
también admite una factorización de este tipo. Si 
donde 
. La hipótesis de inducción conduce a factorizaciones 
, 
, de donde se obtiene la descomposición 
.
. Ahora definimos 
y observamos que 
no es divisible por ningún 
cuando 
porque el resto de la división es igual a uno. La contradicción ha llegado porque 
de modo que 
y también hemos concluido.
son números reales y 
puesto que 
. Aplicando ahora la hipótesis de inducción resulta
![\displaystyle{(a+b)^{n+1} = a^{n+1}+b^{n+1} + \sum_{k=1}^n \left [ \left ( \hskip -1ex\begin{array}{c} n \\ k \end{array}\hskip -1ex \right ) + \left ( \hskip -1ex\begin{array}{c} n \\ k-1 \end{array}\hskip -1ex \right ) \right ] a^{n+1-k}\,b^k.}](http://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle%7B%28a%2Bb%29%5E%7Bn%2B1%7D+%3D+a%5E%7Bn%2B1%7D%2Bb%5E%7Bn%2B1%7D+%2B+%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5En+%5Cleft+%5B+%5Cleft+%28+%5Chskip+-1ex%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D+n+%5C%5C+k+%5Cend%7Barray%7D%5Chskip+-1ex+%5Cright+%29++%2B++%5Cleft+%28+%5Chskip+-1ex%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D+n+%5C%5C+k-1+%5Cend%7Barray%7D%5Chskip+-1ex+%5Cright+%29+%5Cright+%5D+a%5E%7Bn%2B1-k%7D%5C%2Cb%5Ek.%7D&bg=ffffff&fg=333333&s=0 "\displaystyle{(a+b)^{n+1} = a^{n+1}+b^{n+1} + \sum_{k=1}^n \left [ \left ( \hskip -1ex\begin{array}{c} n \\ k \end{array}\hskip -1ex \right ) + \left ( \hskip -1ex\begin{array}{c} n \\ k-1 \end{array}\hskip -1ex \right ) \right ] a^{n+1-k}\,b^k.}")
y supongamos que
representa a aquellos números naturales que satisfacen la proposición que se quiere demostrar. La condición 
se llama hipótesis de inducción y la implicación 
se llama paso inductivo. La siguiente forma equivalente del principio de inducción matemática consiste en realizar la hipótesis de inducción sobre un número natural y todos los anteriores a él.
no tiene ninguna solución racional 
tal que 
Digamos que 
donde 
no tienen factores comunes. Como 
se sigue que 
de modo que 
es par y por lo tanto 
para algún 
luego 
y ahora 
de donde 
es decir, 
es par y por lo tanto 
tambien es par. Hemos llegado a la conclusión de que tanto 
no tienen factores comunes.
