Nos hemos mudado

25/05/2011

Este curso he creado el blog Café Matemático con la idea de dar cabida a otras asignaturas. También se pueden seguir sus actualizaciones en Twitter.

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Aplicaciones del teorema de Taylor

25/01/2010

Después de este periodo de inactividad en el blog se me ha ocurrido publicar una entrada a propósito de un par de aplicaciones del teorema de Taylor.

Supongamos que f es una función para la cual existen f^\prime (x_0), \ldots , f^{(n)}(x_0). El polinomio de Taylor de grado n para f en x_0 viene dado por

\displaystyle{ p_n(x)= \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x-x_0)^n.}

El resto de Taylor de orden n para f en x_0 es la diferencia entre la función y su polinomio de Taylor, es decir, r_n(x)=f(x)-p_n(x). La condición del resto asegura que

\displaystyle{\lim_{x \rightarrow x_0} \frac{r_n(x)}{(x-x_0)^n}=0.}

Suponiendo que existen f^\prime, \ldots, f^{(n+1)} en un intervalo (x_0,x), el teorema de Taylor proporciona las siguientes expresiones para algún t \in (x_0,x)

\displaystyle{r_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^n (x-x_0 )},   (Cauchy),

\displaystyle{r_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(t)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}},    (Lagrange).

1. Cálculo de límites con expresiones indeterminadas

Una bonita aplicación de la condición del resto sucede al calcular el límite de una expresión indeterminada sustituyendo las funciones que aparecen por sus polinomios de Taylor. Supongamos por ejemplo que queremos calcular

\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0} \left (\frac{\sin x}{x} \right )^{1/x^2}.}

Tomando logaritmos y aplicando la regla de L’Hôpital resulta

\displaystyle{\log \lim_{x \rightarrow 0} \left (\frac{\sin x}{x} \right )^{1/x^2} \hskip-1ex =\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^2} \log \left (\frac{\sin x}{x}\right ) = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{2x^2} \frac{x \cos x - \sin x}{\sin x}.}

Aplicando sucesivas veces la regla de L’Hôpital se obtienen expresiones cada vez más complicadas. Un recurso es considerar polinomios de Taylor, digamos

\displaystyle{\cos x = 1-\frac{x^2}{2!} +r_2(x), \hskip1ex\sin x = x - \frac{x^3}{3!}+s_3(x),}

donde los restos r_2(x), s_3(x) satisfacen las condiciones \lim r_2(x)/x^2= 0, \lim s_3(x)/x^3=0 cuando x \rightarrow 0. Tenemos

\displaystyle{\frac{1}{2x^2} \frac{x \cos x - \sin x}{\sin x}= \frac{1}{2} \frac{x}{\sin x} \left [ -\frac{1}{3} + \frac{r_2(x)}{x^2}+ \frac{s_3(x)}{x^3} \right ],}

y esta expresión tiende hacia -1/6 cuando x \rightarrow 0, de donde se deduce que

\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0} \left (\frac{\sin x}{x} \right )^{1/x^2}=\frac{1}{\sqrt[6]{e}}.}

Se puede comprobar este resultado con Wolfram Alpha. Al teclear el código

lim (sin(x)/x)^(1/x^2) as x goes to 0

se obtiene esta respuesta.

2. La base de los logaritmos naturales es un número irracional

Demostración. Razonamos por reducción al absurdo. Supongamos por un momento que e=m/n donde m,n \in \mathbb{Z} son números enteros con n > 0. Considerando el polinomio de Taylor de grado n para la función exponencial

\displaystyle{e^x=1 + x + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + r_n(x),}

y particularizando esta expresión cuando x=1 se obtiene

\displaystyle{\frac{m}{n}=1+1+\frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{n!}+ r_n(1).}

El resto de Lagrange viene dado por r_n(1)=e^t/(n+1)! para algún t \in (0,1) y por lo tanto 0 < r_n < 3/(n+1)! Multiplicando por n! resulta

\displaystyle{(n-1)!m=n!+n!+\frac{n!}{2!} + \cdots + \frac{n!}{n!}+ n! r_n(1).}

Los términos que aparecen en la expresión anterior son enteros pero 0 < n!r_n(1) <3/(n+1) \leq 1, y esto es una contradicción.

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El principio de intervalos encajados

21/12/2009

El principio de intervalos cerrados encajados de Cantor es otra expresión de la completitud del cuerpo de los números reales. Un sistema de intervalos encajados es cualquier familia de intervalos \{I_\alpha\}_{\alpha \in \Lambda} con la propiedad de que para cada \alpha, \beta \in \Lambda se tiene I_\alpha \subseteq I_\beta o bien I_\beta \subseteq I_\alpha.

Teorema (Principio de intervalos encajados)
Si \{I_n\}_{n \in \mathbb{N}} es un sistema de intervalos cerrados encajados entonces

\displaystyle{\bigcap_{n \in \mathbb{N}} I_n \neq \emptyset.}

Si además se cumple que para cada \varepsilon >0 existe n \in \mathbb{N} tal que \text{diam}(I_n)<\varepsilon entonces la intersección se reduce a un único punto.

Demostración. Sea I_n = [a_n,b_n], donde a_n \leq b_n para cada n \in \mathbb{N}, y sean A=\{a_n:n \in \mathbb{N}\}, B=\{b_n:n \in \mathbb{N}\}. Está claro que A \neq \emptyset \neq B. Como los intervalos están encajados, se tiene la desigualdad a_n \leq b_m para cada n, m \in \mathbb{N}, y de aquí se deduce que A está acotado superiormente y B está acotado inferiormente. Ahora se sigue del axioma del supremo que existen \alpha=\sup A, \beta = \inf B. Es fácil comprobar que entonces

\displaystyle{\bigcap_{n \in \mathbb{N}} I_n =[\alpha,\beta],}

y que bajo la hipótesis adicional se tiene \alpha=\beta.

Como ilustración del principio de intervalos encajados en acción tenemos una demostración alternativa del teorema de Bolzano acerca de la existencia de ceros para una función continua en un intervalo.

Teorema de Bolzano
Si f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R} es una función continua tal que f(a)<0<f(b) entonces existe x_0 \in (a,b) tal que f(x_0)=0.

Demostración. Tomamos el punto medio c=(a+b)/2 del intervalo [a,b]. Si f(c)=0 entonces hemos concluido. Si f(c)>0 entonces elegimos a_1=a, b_1=c, y si f(c)<0 entonces elegimos a_1=c, b_1=b, de modo que f(a_1)<0<f(b_1) y b_1-a_1=(b-a)/2. Ahora tomamos el punto medio c_1=(a_1+b_1)/2 del intervalo [a_1,b_1]. Si f(c_1)=0 entonces hemos concluido. Si f(c_1)>0 entonces elegimos a_2=a_1, b_2=c_1, y si f(c_1)<0 entonces elegimos a_2=c_1, b_2=b_1, de modo que f(a_2)<0<f(b_2) y b_2-a_2=(b-a)/2^2. Continuando este proceso se obtiene una familia \{I_n\}_{n \in \mathbb{N}} de intervalos cerrados encajados I_n=[a_n,b_n] tales que f(a_n)<0<f(b_n) y \text{diam}(I_n)=(b-a)/2^n. Según el principio de intervalos encajados, existe algún número real

\displaystyle{x_0 \in \bigcap_{n \in \mathbb{N}} I_n.}

Afirmamos que f(x_0)=0. Supongamos lo contrario, digamos f(x_0)>0. Como f es continua en x_0, existe \varepsilon >0 tal que f(x)>0 para cada x \in (x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon). Sea n \in \mathbb{N} tal que \text{diam}(I_n)<\varepsilon. Tenemos x_0 \in I_n \subseteq (x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon), luego f(a_n)>0, lo cual es absurdo. Cuando f(x_0)<0 se razona de forma análoga.

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El poder del razonamiento heurístico

12/12/2009

Según el diccionario de la lengua española, la heurística es la técnica de la indagación y del descubrimiento. Desde la antigüedad, la heurística es una rama de la lógica, la filosofía y la psicología que tiene por objetivo estudiar los métodos y las reglas del descubrimiento y la invención. El concepto se hace popular en el siglo XX gracias al matemático húngaro George Pólya con la publicación de su libro How to solve it.

Un razonamiento heurístico es un razonamiento que no se considera definitivo y estricto, sino solamente provisional y plausible, cuyo propósito es descubrir la solución de un problema. Se necesita el razonamiento heurístico cuando se elabora una demostración rigurosa del mismo modo que se necesita el andamio cuando se construye un edificio.

Un buen ejemplo del poder del razonamiento heurístico es la demostración de la regla de la cadena para la derivada de una función compuesta.

Teorema (Regla de la cadena)
Si f es derivable en x_0 y g es derivable en f(x_0) entonces g \circ f es derivable en x_0 y además se tiene (g \circ f)^\prime(x_0)=g^\prime(f(x_0)) \cdot f^\prime(x_0).

La idea principal de la demostración se basa en la siguiente identidad, que es una sencilla consecuencia del viejo truco algebraico de multiplicar y dividir una expresión por la misma cantidad sin que se produzca alteración.

\displaystyle{\frac{g(f(x))-g(f(x_0))}{x-x_0}=\frac{g(f(x))-g(f(x_0))}{f(x)-f(x_0)} \cdot\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}.

Tomando límites cuando x \rightarrow x_0 resulta que el primer factor tiende hacia g^\prime(f(x_0)) mientras que el segundo factor tiende hacia f^\prime(x_0). El problema que presenta este razonamiento es que el denominador f(x)-f(x_0) del primer factor se puede anular. Este razonamiento heurístico se convierte en una demostración rigurosa mediante la introducción de una función auxiliar que soluciona el problema técnico.

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La sucesión de Fibonacci

17/11/2009

La sucesión de Fibonacci es un ejemplo de un objeto con una descripción matemática sencilla pero con muchas propiedades extrañas y complicadas. Fibonacci es el sobrenombre de Leonardo de Pisa, quien introdujo en Europa el sistema de numeración árabe alrededor del año 1200.

1. Los conejos de Fibonacci
La sucesión de Fibonacci aparece en su obra Liber Abaci como una solución al problema del crecimiento de una población de conejos. Supongamos que una pareja de conejos, tras haber alcanzado su madurez, produce otra pareja de conejos al mes. Supongamos también que los conejos alcanzan su madurez al cabo de dos meses. Empezando con una pareja de conejos recién nacidos, describir cuántos conejos se reproducen en meses sucesivos.

Al final del primer mes, hay una pareja. Al final del segundo mes, todavía hay una pareja, que ya ha madurado. Al final del tercer mes, la pareja ha producido una nueva pareja, de modo que ahora hay dos parejas. Al final del cuarto mes, la primera pareja ha producido otra nueva pareja mientras que la segunda pareja ha madurado, de modo que ahora ya hay tres parejas. Siguiendo de esta forma se advierte que la siguiente sucesión de números describe la reproducción de los conejos

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, \ldots

Observemos que cada término de esta sucesión es precisamente la suma de los dos términos anteriores. La sucesión de Fibonacci (F_n) se define a partir de condiciones semilla F_1=F_2=1 mediante la relación de recurrencia

F_{n+2}=F_{n+1}+F_n\,.

2. El linaje de las abejas
Las abejas tienen un árbol genealógico extraño. La sucesión de Fibonacci describe el número de antepasados de las abejas. Veamos en primer lugar algunos hechos insólitos acerca de la colmena.

  • Una abeja especial, la reina, es la única hembra que pone huevos,
  • Hay muchas abejas obreras, que son hembras pero no ponen huevos,
  • Hay algunos zánganos, que son machos y no trabajan.
  • Los zánganos provienen de huevos sin fertilizar, por eso no tienen padre.
  • Las hembras provienen del apareamiento de la reina con un macho, por esa razón tienen tanto padre como madre.

Si trazamos el arbol genealógico de un zángano (1 abeja), solamente tiene una madre (1 abeja), dos abuelos que son macho y hembra (2 abejas), tres bisabuelos que son un macho y dos hembras (3 abejas), y reiterando este proceso aparece la sucesión de Fibonacci. Si trazamos el árbol genealógico de una hembra llegamos a un resultado parecido.

3. La proporción áurea
Se dice los lados de un rectángulo tienen la proporción áurea \varphi si al eliminar una sección cuadrada del rectángulo, los lados del rectángulo restante están en la misma proporción. Consideremos el rectángulo de la figura

y supongamos que sus lados tienen la proporción áurea, de modo que se verifica la relación de proporcionalidad

\displaystyle{\frac{a+b}{a}=\frac{a}{b}.}

Un sencillo cálculo indica que entonces la proporción áurea \varphi es la solución positiva de la ecuación \varphi^2 -\varphi -1=0 y por lo tanto

\displaystyle{\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}}.

La siguiente construcción de un rectángulo áureo aparece en los Elementos de Euclides, concretamente en la proposición 2.11.

A partir del cuadrado ABCD se halla el punto medio G del segmento AB. Así |GC|=|GE|=\sqrt{5}, luego |AE|=|AG|+|GE|=1 + \sqrt{5}, y por lo tanto los lados del rectángulo AEFD tienen la proporción áurea.

Consideremos la sucesión de los cocientes entre los términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci, es decir,

\displaystyle{\frac{1}{1}\,,\; \frac{2}{1}\,,\; \frac{3}{2}\,,\; \frac{5}{3}\,,\; \frac{8}{5}\,,\; \frac{13}{8}\,,\; \frac{21}{13}\,,\; \frac{34}{21}\,,\;\frac{55}{34}\,,\;\frac{89}{34}\,,\; \cdots}

Resulta que esta sucesión converge hacia la proporción áurea,

\displaystyle{\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{F_{n+1}}{F_n}=\varphi.}

Esta propiedad, descubierta por el astrónomo alemán Johannes Kepler, pone de manifiesto la íntima conexión que existe entre la sucesión de Fibonacci y la proporción áurea.

4. Las espirales de los girasoles
La disposición regular de los órganos laterales de una planta (como las hojas en un tallo o los brotes en una flor compuesta), es un importante aspecto de la forma de las plantas conocido como filotaxia.

El área de la filotaxia está repleta de interesantes relaciones matemáticas, por ejemplo, la extraordinaria predominancia de la sucesión de Fibonacci en el número de espirales a lo largo de un patrón filotáctico.

Un modelo propuesto por H. Vogel para describir la estructura del girasol está relacionado con problemas de empaquetamiento. La clave para este modelo es el ángulo de Fibonacci

\displaystyle{\frac{360^{\rm o}}{\varphi^2} \simeq 137.5^{\rm o}}

Vogel propone que el patrón de los brotes en el girasol obedece la fórmula

\theta= n \ast 137.5^{\rm o}, \;\;\; r=c\sqrt{n},

donde n es el número de orden del brote contado desde el centro hacia afuera, \theta es el ángulo entre una dirección de referencia y el vector de posición del brote, r es la distancia del centro del girasol al centro del brote, y finalmente, c es un factor de escala constante. Se sigue que el ángulo de divergencia \alpha=137.5^{\rm o} entre dos brotes consecutivos es constante.

La raíz cuadrada que relaciona la distancia con el número de orden del brote tiene una simple explicación geométrica. Suponiendo que los brotes tienen el mismo tamaño y que el empaquetamiento es denso, el número de brotes que caben dentro de un disco de radio r es proporcional al área del disco, es decir que r \sim \sqrt{n}.

Es más difícil explicar el ángulo de divergencia, que Vogel deduce a partir del supuesto de que cada brote encaja en el mayor hueco que exista entre brotes anteriores. La siguiente figura ilustra el crítico papel que desempeña el ángulo de divergencia al generar patrones filotácticos en un disco cuando {\rm (a)}\; \alpha=137.4^{\rm o},\;\; {\rm (b)}\; \alpha=137.5^{\rm o},\;\;{\rm (c)}\; \alpha=137.6^{\rm o}.

El modelo de Vogel describe correctamente la disposición de los brotes en flores reales. La característica más destacada son dos conjuntos de espirales llamadas parastiquios, que girando el uno en sentido horario y el otro en sentido antihorario, están compuestas de brotes adyacentes. El número de espirales en cada parastiquio es siempre un término de la sucesión de Fibonacci, oscilando desde 21 y 34 para una flor pequeña hasta 89 y 144 e incluso 144 y 233 para una flor grande. La margarita de la siguiente imagen sintética muestra 34 espirales horarias y 21 espirales antihorarias.

La siguiente imagen de un girasol permite discernir 34 espirales horarias y 55 espirales antihorarias. El número de espirales que se perciben depende del tamaño de la flor en términos de el número de los brotes que la componen. Si el campo de atención se limita a un disco de aproximadamente 2/3 del tamaño de la flor, entonces el número de espirales que se pueden discernir se convierte en 34 y 21.

Nota: Esta sección es una adaptación de parte del cuarto capítulo del libro The Algorithmic Beauty of Plants, que se puede descargar gratuitamente desde el sitio Algorithmic Botany.

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Festividad de San Alberto Magno

09/11/2009

El día 15 de noviembre se celebra la festividad de San Alberto Magno, patrono de los estudiantes de ciencias. El día 13 de noviembre tiene lugar un acto conmemorativo con motivo del cual se suspende la actividad académica durante todo el día.

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Contraejemplos en matemáticas

09/11/2009

Un contraejemplo es un ejemplo que prueba la falsedad de un enunciado.

La suma de dos números compuestos siempre es un número compuesto. Este enunciado es falso, como contraejemplo, 4 + 9 =13.

La validez de un enunciado se establece con una demostración. La falsedad de un enunciado se establece con un contraejemplo. Esta idea queda ilustrada en el ejercicio 12 de la relación de problemas 1.2.

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Números algebraicos y números transcendentes

27/10/2009

Definición. Un número algebraico es cualquier raíz real de un polinomio

p(x)=a_nx^n + \cdots +a_1x+a_0

con coeficientes enteros a_0,a_1, \ldots,a_n \in \mathbb{Z}. Un número real que no sea algebraico se llama transcendente.

Cualquier número racional es algebraico. Un ejemplo de número algebraico irracional es x= \sqrt{2} por ser raíz del polinomio p(x)=x^2-2. Razonando con un argumento de cardinalidad se puede probar que existen muchos números transcendentes. Demostrar que un número real es transcendente puede ser extremadamente complicado. Ejemplos de números transcendentes son e, \pi, 2^{\sqrt{2}}. El siguiente resultado proporciona muchos otros ejemplos de números transcendentes.

Teorema de Gelfond-Schneider. Si \alpha, \beta son números algebraicos con \alpha \notin \{ 0,1\} y \beta \notin \mathbb{Q} entonces cualquier valor de \alpha^\beta es transcendente.

Una fuente de números algebraicos irracionales viene dada por el siguiente resultado, que figura como ejercicio 19 en la relación de problemas 1.1.

Proposición. Si un número real x \in \mathbb{R} es solución de una ecuación algebraica x^n + a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x+a_0=0 con coeficientes enteros a_0,a_1, \ldots,a_{n-1} \in \mathbb{Z} entonces x es irracional si no es entero.

Demostración. Supongamos que x=p/q es una solución racional de la ecuación con p,q \in \mathbb{Z} coprimos, de modo que

p^n + a_{n-1}p^{n-1}q + \cdots +a_1pq^{n-1}+a_0q^n=0.

Ahora se sigue que q es un divisor de p^n. Como p,q no tienen factores comunes resulta que q=1, es decir, x \in \mathbb{Z}.

Observación. El razonamiento de la demostración indica que las soluciones enteras de la ecuación son divisores de a_0.

Ejemplo. Consideremos el número real x=\sqrt[3]{\sqrt{2}+1} y observemos que (x^3-1)^2=2, luego x^6-2x^3-1=0, pero esta ecuación no tiene soluciones enteras, luego x debe ser irracional.

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La propiedad arquimediana

20/10/2009

El axioma del supremo asegura que cualquier conjunto de números reales no vacío y acotado superiormente tiene cota superior mínima. La propiedad arquimediana de la suma es una importante consecuencia de este axioma.

Proposición. Si a, b \in \mathbb{R} son números reales con a > 0 entonces existe un número natural n \in \mathbb{N} tal que na > b.

Demostración. Razonamos por reducción al absurdo. Supongamos por un momento que para cualquier número natural n \in \mathbb{N} se tiene la desigualdad na \leq b. Consideremos el conjunto A=\{na : n \in \mathbb{N}\}. Tenemos a \in A, de modo que A \neq \emptyset. Además, A está acotado superiormente porque b es una cota superior de A. Ahora se sigue del axioma del supremo que existe \alpha = \sup A. Observemos que \alpha - a < b, de manera que \alpha < (n+1)a. Esto es una contradicción porque así \alpha no es cota superior de A.

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Euclides y sus primos

11/10/2009

El teorema fundamental de la aritmética aparece publicado en los Elementos de Euclides, Libro VII, proposiciones 30 y 32. La primera demostración completa y correcta del resultado se debe a Gauss. A continuación presentamos la demostración de Euclides para la existencia.

Teorema Fundamental de la Aritmética. Cualquier número natural mayor que uno se descompone como producto de factores primos. Además, la descomposición es única salvo el orden de los factores.

Demostración. Razonamos por inducción completa. La proposición es trivial cuando n=2 porque se trata de un número primo. Supongamos que cualquier número natural m \in \{2,3, \ldots , n\} se descompone como producto de factores primos y veamos cómo n+1 también admite una factorización de este tipo. Si n+1 es primo entonces la descomposición es trivial, y en caso contrario n+1=r \cdot s donde 2 \leq r, s\leq n. La hipótesis de inducción conduce a factorizaciones r=p_1 \cdots p_j, s=q_1 \cdots q_k, de donde se obtiene la descomposición n+1=p_1 \cdots p_j \cdot q_1 \cdots q_k.

*   *   *   *   *

Existen infinitos números primos. La demostración más antigua que se conoce para este resultado se debe a Euclides y aparece publicada en sus Elementos, Libro IX, Proposición 20.

Teorema de Euclides. Existe una cantidad infinita de números primos.

Demostración. Razonamos por reducción al absurdo. Supongamos que solamente hay una cantidad finita de números primos, digamos p_1, \ldots , p_r. Ahora definimos n= p_1 \cdots p_r+1 y observamos que n no es divisible por ningún p_j cuando 1 \leq j \leq r porque el resto de la división es igual a uno. La contradicción ha llegado porque n+1 bien es primo y hemos comcluido o bien tiene un factor primo p de modo que p \notin \{p_1 \ldots , p_r\} y también hemos concluido.

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